人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第1課時(shí)曲邊梯形面積與定積分(更新版)
【正文】 x )d x 叫被積式，此時(shí)稱函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上可積． 注意： ( 1 ) 定積分是一種 “ 和 ” 的極限，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即????abf ( x )d x ＝????abf ( u )d u ＝????abf ( t )d t＝ ? ( 稱為積分形式的不變性 ) ． ( 2 ) 用定義求定積分的常用一般步驟是： ① 分割： n 等分區(qū)間 [ a ， b ] ； ② 近似代替：取點(diǎn) ξi∈ [ xi － 1， xi] ； ③ 求和： ?i ＝ 1nf ( ξi)1n＋ (1n)21n，(2n)2Δ x ＝ ?i ＝ 0n － 1k 1n，????????n ＋ 2n3 π1n. 所有這些小矩形的面積和 ( 圖中陰影部分面積 ) Sn＝ ?i ＝ 0n － 1 ????????n ＋ in3en＝ke2n2 [0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ ( n － 1 ) ] ＝ke2n2 1n. ( 3 ) 求和 所有這些小矩形的面積和為 Sn＝ 021n， ? ， (n － 1n)2ien1n， ? ，????????2 n － 1n3 32＝92π. 由定積分的幾何意義知???－ 339 － x2d x ＝92π. (2) 在平面上， f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 為一條直線 . ????03(2 x ＋ 1)d x 表示直線 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 ， x ＝ 0 ， x ＝ 3 圍成的直角梯形 OAB C 的面積，如圖 (2) ． 其面積為 S ＝12(1 ＋ 7) 3 ＝ 12. 根據(jù)定積分的幾何意義知????03(2 x ＋ 1)d x ＝ 12. [ 方法總結(jié) ] 利用定積分的幾何意義求定積分就必須準(zhǔn)確理解其幾何意義，同時(shí)要 合理利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性來解決問題，另外，結(jié)合圖形更直觀形象的輔助作題． 利用定積分的性質(zhì)和幾何意義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積． ( 1 ) y ＝ 0 ， y ＝ x ， x ＝ 2 ； ( 2 ) y ＝ x － 2 ， x ＝ y2. [ 解析 ] ( 1 ) 曲線所圍成的區(qū)域如圖 ① 所示，設(shè)此面積為S ，則 S ＝????02 ( x － 0 ) d x ＝????02 x d x . ( 2 ) 曲線所圍成的平面區(qū)域如圖 ② 所示． S ＝ A 1 ＋ A 2 ， A 1 是由 y ＝ x ， y ＝－ x ， x ＝ 1 圍成的圖形的面積． A 2 是由 y ＝ x ， y ＝ x － 2 和 x ＝ 1 圍成的圖形的面積． ∴ A 1 ＝????01[ x － ( － x ) ] d x ， A 2 ＝????14[ x － ( x － 2 ) ] d x . ∴ S ＝????012 x d x ＋????14( x － x ＋ 2 ) d x . 用定積分的幾何意義求 ????－ 10x d x . [ 錯(cuò)解 ] 由直線 x ＝ 0 ， x ＝－ 1 ， y ＝ 0 ， y＝ x 所圍成的圖形，如圖陰影部分所示，????－ 10x d x 表示該圖形的面積．所以????－ 10x d x ＝12 1 1＝12. [ 辨析 ] 要正確理解定積分的幾何意義，當(dāng) f ( x ) 0 時(shí)，????abf ( x )d x 表示面積的相反數(shù)． [ 正解 ] ????－ 10x d x ＝－ 12 1 1 ＝－ 12 . 定積分??????? 定積分的實(shí)際背景 ? 了解 ?????? 曲邊梯形的面積變力做功定積分的概念 ? 了解 ?????? 和式的極限定積分的幾何意義
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