人教b版高中數(shù)學選修2-2第3章31第1課時數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念(已修改)
2024-12-04 15:23 本頁面
【正文】 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第三章 1 9 4 5 年，意大利數(shù)學家、物理學家卡丹在其所著《重要的藝術(shù)》一書中列出將 10 分成兩部分，使其積為 40 的問題，即求方程 x ( 1 0 － x ) ＝ 40 的根，他求出的根為 5 ＋ － 15 和 5 －－ 15 ，積為 25 － ( － 1 5 ) ＝ 4 0 . 但由于這只是單純從形式上推廣而來，并且人們原先就已斷言負數(shù)開平方是沒有意義的．因此復數(shù)在歷史上長期不被接受． “ 虛數(shù) ” 這一名詞就恰好反映了這一點． 直到 18 世紀，達朗貝爾、歐拉和高斯等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義及物理意義，建立了系統(tǒng)的復數(shù)理論，從而使人們終于接受并理解了 復數(shù)．復變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是在 19 世紀奠定的，主要是圍繞柯西、魏爾斯特拉斯和黎曼三人的工作進行的． 到本世紀，復變函數(shù)論是數(shù)學的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域的不斷擴大而發(fā)展成一門龐大的學科，在自然科學的其他分支 ( 如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等 ) 及數(shù)學的其他分支 ( 如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等 ) 中，復變函數(shù)論都有著重要應用． 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念 第 1課時 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念 第三章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預習 1 課前自主預習 2020年 8月，希望工程舉行中學生夏令營，來到海濱城市青島．一天，張明與王華面對著廣闊的大海，有一番耐人尋味的對話． 張明：海納百川，心闊容海．海、心孰大？ 王華：夸張的手法，不可比較． 張明：那么數(shù) m， n可否比較大?。? 王華：未必． 同學們，你能準確回答張明的問題嗎？ ？ 2．實數(shù)的運算律有哪些？ 答案： 1 ．實 數(shù) ( R )??????????????????有理數(shù) ? Q ???????????正有理數(shù)零負有理數(shù)循環(huán)小數(shù) ? 整數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù) ?無理數(shù)??????????正無理數(shù)負無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)小數(shù) 2 ． ( 1 ) 加法交換律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； ( 2 ) 加法結(jié)合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c ) ； ( 3 ) 乘法交換律： ab ＝ ba ； ( 4 ) 乘法結(jié)合律： ( ab ) c ＝ a ( bc ) ； ( 5 ) 乘法分配律： a ( b ＋ c ) ＝ ab ＋ ac . 一、數(shù)系的擴充 1 ．實數(shù)系 ( 1 ) 實數(shù)就是小數(shù)，它包括有理數(shù) ( 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù) )和無理數(shù) ( 無限不循環(huán)小數(shù) ) ． ( 2 ) 實數(shù)系擴充的脈絡： 自然數(shù)系 → 有理數(shù)系 → 實數(shù)系，即 N ? Q ? R . ( 3 ) 實數(shù)的性質(zhì)： ① 實數(shù)對四則運算是封閉的，即兩個實數(shù)進行四則運算的結(jié)果仍然是實數(shù)； ② 0 與 1 的性質(zhì)為 0 ＋ a ＝ a ＋ 0 ＝ a, 1 a ＝ a 1 ＝ a ； ③ 加法和乘法都適合交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律； ④ 實數(shù)系和數(shù)軸上的點可以建立一一對應關(guān)系． 2 ．虛數(shù) i 的引入及其性質(zhì) 數(shù)的概念擴充到實數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)很多問題還不能解決，如從解方程的角度看，像 x2＝－ 1 這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)就無解，為了解決這類問題，需要把數(shù)的范圍作進一步的擴充． 為此，人們引入一個新數(shù) i ，叫虛數(shù)單位，且規(guī)定： ( 1 ) i2
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