人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章11第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(已修改)
2024-12-03 20:06 本頁(yè)面
【正文】 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一章 導(dǎo) 數(shù) 第 3課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 第一章 課堂典例探究 2 課 時(shí) 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 下雨天 ， 當(dāng)我們將雨傘轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) ， 傘面邊沿的水滴沿著傘的切線(xiàn)方向飛出 ． 實(shí)際上物體 (看作質(zhì)點(diǎn) )做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí) ， 運(yùn)動(dòng)方向在不停地變化 ， 其速度方向?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在其軌跡曲線(xiàn)上的切線(xiàn)方向 ， 我們可以利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題 ． y＝ f(x)在 x＝ x0處導(dǎo)數(shù)的定義是什么？ 2．過(guò)定點(diǎn) (x0， y0)且斜率為 k的直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程是什么？若斜率不存在呢？ 3．在初中學(xué)過(guò)的圓的切線(xiàn)定義是什么？ 答案： 1. f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x. 2 ．斜率為 k 且過(guò)定點(diǎn) ( x 0 ， y 0 ) 的直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程為 y － y 0 ＝k ( x － x 0 ) ．如果直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)的方程為 x ＝ x 0 . 3 ．直線(xiàn)和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相切，這時(shí)直線(xiàn)叫圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn) 叫做切點(diǎn) . 一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象如圖所示． AB 是過(guò)點(diǎn) A ( x0， f ( x0)) 與點(diǎn) B ( x0＋ Δ x ， f ( x0＋ Δ x ))的一條割線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn) B 沿曲線(xiàn)向 A 移動(dòng)時(shí)，Δ x → 0 ，割線(xiàn)逐漸變化，最終變?yōu)榍芯€(xiàn) AD .在此過(guò)程中割線(xiàn) AB 斜率Δ yΔ x＝f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x最終變?yōu)榍芯€(xiàn) AD斜率，即 l i mΔ x → 0 f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x＝ kAD，由導(dǎo)數(shù)的意義知，曲線(xiàn)在點(diǎn) ( x0， f ( x0)) 的切線(xiàn)斜率為 f′ ( x0) ． 注意： (1)曲線(xiàn)與其上一點(diǎn)處的切線(xiàn)可能不止一個(gè)公共點(diǎn) ，此點(diǎn)與初中學(xué)過(guò)的圓的切線(xiàn)不同 ， 把圓的切線(xiàn)定義盲目推廣到一般曲線(xiàn)的切線(xiàn)不妥當(dāng)?shù)?． 如圖所示的曲線(xiàn) ， 直線(xiàn) l1雖然與曲線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn) M， 但不能說(shuō)直線(xiàn) l1與曲線(xiàn)相切；而直線(xiàn) l2盡管與曲線(xiàn)有不止一個(gè)公共點(diǎn) ， 但我們還是說(shuō)直線(xiàn) l2是這條曲線(xiàn)在點(diǎn) N處的切線(xiàn) ． ( 2) 教材用割線(xiàn)的極限位置上的直線(xiàn)來(lái)定義切線(xiàn)： “ 當(dāng)點(diǎn) B沿曲線(xiàn)趨近于點(diǎn) A 時(shí)，割線(xiàn) AB 繞點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動(dòng) ??” ，許多同學(xué)容易忽視 “ 沿曲線(xiàn) ” 而說(shuō)成 “ 當(dāng)點(diǎn) B 趨近于點(diǎn) A 時(shí) ” ，這就不準(zhǔn)確了． ( 3 ) 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn) y ＝ f ( x ) 在點(diǎn)( x0， f ( x0)) 切線(xiàn)的斜率，也就是說(shuō)，曲線(xiàn) y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) ( x0， f ( x0))切線(xiàn)的斜率等于 f′ ( x0) ，即 k ＝ l i mΔ x → 0 f ? x0＋ Δ x ?－ f ? x0?Δ x＝f′ ( x0) ．還應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： ① 若曲線(xiàn) y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) P ( x 0 ， f ( x 0 )) 的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線(xiàn)，則切線(xiàn)與 x 軸垂直．如 f ( x ) ＝ x 在 x ＝ 0 處有切線(xiàn)，但函數(shù)在此點(diǎn)不可導(dǎo)． ② 若 f′ ( x 0 ) 0 ，切線(xiàn)的傾斜角為銳角；若 f′ ( x 0 ) 0 ，切線(xiàn)的傾斜角為鈍角；若 f′ ( x 0 ) ＝ 0 ，切線(xiàn)與 x 軸平行． 下面說(shuō)法正確的是 ( ) A．若 f′(x0)不存在，則曲線(xiàn) y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))沒(méi)有切線(xiàn) B．若曲線(xiàn) y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))有切線(xiàn)，則 f′(x0)必存在 C．若 f′(x0)不存在，則曲線(xiàn) y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))的切線(xiàn)斜率不存在 D．若曲線(xiàn) y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))沒(méi)有切線(xiàn)，則 f′(x0)有可能存在 [答案 ] C [解析 ] 若 f′(x0)不存在，則曲線(xiàn) y＝ f(x)在 x＝ x0處切線(xiàn)斜率不存在，但切線(xiàn)有可能存在，故排除 A；若切線(xiàn)與 x軸垂直，則f′(x0)不存在，故排除 B；若 y＝ f(x)在 x＝ x0處沒(méi)有切線(xiàn)，則 f′(x0)一定不存在，排除 C正確． 二、曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程問(wèn)題 1．求曲線(xiàn) y＝ f(x)在其上一點(diǎn) P(x0
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