人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章11第3課時導(dǎo)數(shù)的幾何意義(已修改)
2025-11-28 20:06 本頁面
【正文】 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一章 導(dǎo) 數(shù) 第 3課時 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 第一章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 下雨天 ， 當(dāng)我們將雨傘轉(zhuǎn)動時 ， 傘面邊沿的水滴沿著傘的切線方向飛出 ． 實(shí)際上物體 (看作質(zhì)點(diǎn) )做曲線運(yùn)動時 ， 運(yùn)動方向在不停地變化 ， 其速度方向?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在其軌跡曲線上的切線方向 ， 我們可以利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題 ． y＝ f(x)在 x＝ x0處導(dǎo)數(shù)的定義是什么？ 2．過定點(diǎn) (x0， y0)且斜率為 k的直線點(diǎn)斜式方程是什么？若斜率不存在呢？ 3．在初中學(xué)過的圓的切線定義是什么？ 答案： 1. f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x. 2 ．斜率為 k 且過定點(diǎn) ( x 0 ， y 0 ) 的直線點(diǎn)斜式方程為 y － y 0 ＝k ( x － x 0 ) ．如果直線的斜率不存在，則直線的方程為 x ＝ x 0 . 3 ．直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切，這時直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn) 叫做切點(diǎn) . 一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象如圖所示． AB 是過點(diǎn) A ( x0， f ( x0)) 與點(diǎn) B ( x0＋ Δ x ， f ( x0＋ Δ x ))的一條割線，當(dāng)點(diǎn) B 沿曲線向 A 移動時，Δ x → 0 ，割線逐漸變化，最終變?yōu)榍芯€ AD .在此過程中割線 AB 斜率Δ yΔ x＝f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x最終變?yōu)榍芯€ AD斜率，即 l i mΔ x → 0 f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x＝ kAD，由導(dǎo)數(shù)的意義知，曲線在點(diǎn) ( x0， f ( x0)) 的切線斜率為 f′ ( x0) ． 注意： (1)曲線與其上一點(diǎn)處的切線可能不止一個公共點(diǎn) ，此點(diǎn)與初中學(xué)過的圓的切線不同 ， 把圓的切線定義盲目推廣到一般曲線的切線不妥當(dāng)?shù)?． 如圖所示的曲線 ， 直線 l1雖然與曲線有唯一的公共點(diǎn) M， 但不能說直線 l1與曲線相切；而直線 l2盡管與曲線有不止一個公共點(diǎn) ， 但我們還是說直線 l2是這條曲線在點(diǎn) N處的切線 ． ( 2) 教材用割線的極限位置上的直線來定義切線： “ 當(dāng)點(diǎn) B沿曲線趨近于點(diǎn) A 時，割線 AB 繞點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動 ??” ，許多同學(xué)容易忽視 “ 沿曲線 ” 而說成 “ 當(dāng)點(diǎn) B 趨近于點(diǎn) A 時 ” ，這就不準(zhǔn)確了． ( 3 ) 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn)( x0， f ( x0)) 切線的斜率，也就是說，曲線 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) ( x0， f ( x0))切線的斜率等于 f′ ( x0) ，即 k ＝ l i mΔ x → 0 f ? x0＋ Δ x ?－ f ? x0?Δ x＝f′ ( x0) ．還應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： ① 若曲線 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) P ( x 0 ， f ( x 0 )) 的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與 x 軸垂直．如 f ( x ) ＝ x 在 x ＝ 0 處有切線，但函數(shù)在此點(diǎn)不可導(dǎo)． ② 若 f′ ( x 0 ) 0 ，切線的傾斜角為銳角；若 f′ ( x 0 ) 0 ，切線的傾斜角為鈍角；若 f′ ( x 0 ) ＝ 0 ，切線與 x 軸平行． 下面說法正確的是 ( ) A．若 f′(x0)不存在，則曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))沒有切線 B．若曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))有切線，則 f′(x0)必存在 C．若 f′(x0)不存在，則曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))的切線斜率不存在 D．若曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0))沒有切線，則 f′(x0)有可能存在 [答案 ] C [解析 ] 若 f′(x0)不存在，則曲線 y＝ f(x)在 x＝ x0處切線斜率不存在，但切線有可能存在，故排除 A；若切線與 x軸垂直，則f′(x0)不存在，故排除 B；若 y＝ f(x)在 x＝ x0處沒有切線，則 f′(x0)一定不存在，排除 C正確． 二、曲線的切線方程問題 1．求曲線 y＝ f(x)在其上一點(diǎn) P(x0
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