人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章11第3課時導(dǎo)數(shù)的幾何意義(編輯修改稿)
2024-12-23 20:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 一般步驟是：求出函數(shù) y＝ f(x)在 x＝ x0處的導(dǎo)數(shù) f′(x0)；利用直線的點斜式，得出切線方程為 y－ y0＝ f′(x0)(x－ x0)． 若求曲線 f(x)過點 (x0， y0)的切線，可先設(shè)出切點，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點的坐標(biāo)，從而得到切線方程． 3．求切點的坐標(biāo) 設(shè)切點坐標(biāo)為 (x0， y0)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，然后利用兩直線平行、垂直等條件求出切點的坐標(biāo)． 求切點坐標(biāo)的一般思路： (1)先設(shè)切點坐標(biāo) (x0， y0)； (2)求導(dǎo)函數(shù) f′ (x)； (3)求切線的斜率 f′ (x0)； (4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于 x0的方程，解方程求 x0； (5)由于點 (x0， y0)在曲線 y＝ f(x)上，將 x0代入求 y0得切點坐標(biāo)． 已知曲線 y ＝x24的一條切線的斜率為12，則切點的橫坐標(biāo)為( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 [ 答案 ] A [ 解析 ] 設(shè)切點的橫坐標(biāo)為 x 0 ， k ＝ y ′ |x ＝ x 0 ＝ l i mΔ x → 0 ? x 0 ＋ Δ x ?24－x204Δ x＝ l i mΔ x → 0 2 x 0 Δ x ＋ ? Δ x ?24Δ x＝12x 0 ，而切線的斜率為12， ∴12x 0 ＝12， ∴ x 0 ＝ 1 ，則切點的橫坐標(biāo)為 1 ，故選 A. 4．求三角形面積 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線與其他曲線形成的幾何圖形面積，特別是三角形面積，是高考的一個?？键c．作出草圖，數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的有效方法． 曲線 y ＝ x3在點 ( a ， a3)( a ≠ 0) 的切線與 x 軸、直線 x ＝ a 所圍成的三角形的面積為16，則 a ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . [ 答案 ] 177。1 [ 解析 ] ∵ f′ ( a ) ＝ l i mΔ x → 0 ? a ＋ Δ x ?3－ a3Δ x＝ 3 a2， ∴ 曲線在點 ( a ， a3) 的切線方程為 y － a3＝ 3 a2－ ( x － a ) ，切線與 x 軸的交點為 (23a, 0) ． ∴ 三角形的面積為12| a －23a | |a3|＝16，解得 a ＝ 177。 1 . 課堂典例探究 求曲線上某點處的切線方程 已知曲線 y ＝13x3上一 點 P????????2 ，83，求： ( 1 ) 點 P 處的切線的斜率； ( 2 ) 點 P 處的切線方程． [分析 ] 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點 P處切線的斜率 ， 進(jìn)而求出切線方程 ． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ y ＝13x3， ∴ y ′ ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝ l i mΔ x → 0 13? x ＋ Δ x ?3－13x3Δ x ＝13l i mΔ x → 0 3 x2Δ x ＋ 3 x Δ x2＋ Δ x3Δ x ＝13l i mΔ x → 0 ( 3 x2＋ 3 x Δ x ＋ Δ x2) ＝ x2， y ′ |x ＝ 2＝ 22＝ 4. ∴ 點 P 處的切線的斜率等于 4. ( 2 ) 在點 P 處的切線方程是 y －83＝ 4( x － 2) ， 即 12 x － 3 y － 16 ＝ 0. [ 方法總結(jié) ] 求函數(shù) f ( x ) 圖象上點 P 處的切線方程的步驟：先求出函數(shù) 在點 ( x 0 ， y 0 ) 處的導(dǎo)數(shù) f′ ( x 0 )( 即過點 P 的切線的斜率 ) ，再用點斜式寫出切線方程． 求曲線 y ＝1x 在點 ????????12 ， 2 處的切線的斜率，并寫出切線方程． [ 解析 ] ∵ y ′ ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝ l i mΔ x → 0 1x ＋ Δ x－1xΔ x ＝ l i
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