人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第3章32第2課時(shí)復(fù)數(shù)的乘法與除法(已修改)
2024-12-03 20:06 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第三章 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 第 2課時(shí) 復(fù)數(shù)的乘法與除法 第三章 課堂典例探究 2 課 時(shí) 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 在研究復(fù)數(shù)的乘法時(shí) ， 我們注意到復(fù)數(shù)的形式就像一個(gè)二項(xiàng)式 ， 類比二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式的法則 ， 我們可以得到復(fù)數(shù)乘法的法則讓第一項(xiàng)與第二項(xiàng)的各項(xiàng)分別相乘 ， 再合并 “ 同類項(xiàng) ” ，即得到乘法的結(jié)果 . 多項(xiàng)式 (a＋ b)(c＋ d)的運(yùn)算結(jié)果是什么？ 答案： (a＋ b)(c＋ d)＝ ac＋ bd＋ bc＋ bd. 一、復(fù)數(shù)的乘法 1 ．復(fù)數(shù)乘法法則 設(shè) z1＝ a ＋ b i ， z2＝ c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R ) ，定義 z1 z2＝ ( ac－ bd ) ＋ ( ad ＋ bc ) i . 顯然，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然為復(fù)數(shù)． 注意： 由定義可以看出，復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算方式來(lái)實(shí)施： z1 z2＝ ( a ＋ b i ) ( c ＋ d i) ＝ ac ＋ bd i ＋ bc i ＋ bd i2＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad＋ bc ) i . 2 ．乘法的運(yùn)算律 設(shè) z1＝ a1＋ b1i ， z2＝ a2＋ b2i ， z3＝ a3＋ b3i( ai， bi∈ R ， i＝ 1 , 2 , 3 ) ， 則 z1z2＝ ( a1＋ b1i) ＋ ( a2＋ b2i) ＝ a1a2＋ a1b2i ＋ a2b1i ＋ b1b2i2＝( a1a2－ b1b2) ＋ ( a1b2＋ a2b1)i ， z2z1＝ ( a2＋ b2i ) ( a1＋ b1i) ＝ a2a1＋ a2b1i＋ a1b2i ＋ b1b2i2＝ ( a1a2－ b1b2) ＋ ( a1b2＋ a2b1)i ，所以 z1z2＝ z2z1. 同理可證 ( z1z2) z3＝ z1( z2z3) ， z1( z2＋ z3) ＝ z1z2＋ z1z3. 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律，即對(duì)任意復(fù)數(shù) z1， z2， z3，有 z1 z2＝ z2 z1， ( z1 z2) z3＝ z1( z2 z3) ，z1( z2＋ z3) ＝ z1 z2＋ z1 z3. 3 ．復(fù)數(shù)的乘方 ( 1 ) 復(fù)數(shù)的乘方是相同復(fù)數(shù)的積，即把 z z ? z ( n 個(gè) z )( n ∈ N＋ ) 稱為復(fù)數(shù)的 n 次冪，記為 zn. ( 2 ) 根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，即對(duì)任意的 z1， z2， z ∈ C 及 m ，n ∈ N ＋ ，有 zmzn＝ zm ＋ n， ( zm)n＝ zmn， ( z1z2)n＝ zn1zn2. 注意： ( 1 ) 規(guī)定 z0＝ 1 ， z－ m＝1zm ( z ≠ 0 ， m ∈ N ＋ ) ，則復(fù)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算可以把 m ， n 推廣到整數(shù)集，即 m ， n ∈ Z ( 注意：只推廣到整數(shù)集 ) ． ( 2 ) 實(shí)數(shù)集內(nèi)乘法、乘方的一些重要結(jié)論和一些運(yùn)算法則在復(fù)數(shù)集內(nèi)不一定成立．如： ① z ∈ R 時(shí)， |z |2＝ z2. z ∈ C 時(shí)， |z |2∈ R ，而 z2∈ C ， ∴ |z |2≠ z2. ② z 1 ， z 2 ∈ R 時(shí)， z21 ＋ z22 ＝ 0 ? z 1 ＝ 0 且 z 2 ＝ 0. z 1 ， z 2 ∈ C 時(shí)， z21 ＋ z22 ＝ 0 ? / z 1 ＝ 0 且 z 2 ＝ 0 ，但 z 1 ＝ 0 ， z 2 ＝0 ? z21 ＋ z22 ＝ 0. 也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)的平方和為零，是這兩個(gè)復(fù)數(shù)同時(shí)為零的必要不充分條件． (2020北京理， 1)復(fù)數(shù) i(2－ i)＝ ( ) A． 1＋ 2i B． 1－ 2i C．－ 1＋ 2i D．－ 1－ 2i [答案 ] A [解析 ] i(2－ i)＝ 1＋ 2i. 二、復(fù)數(shù)的除法 1 ．復(fù)數(shù)的倒數(shù) 已知 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ，且 ab ≠ 0) ，如果存在一個(gè)復(fù)數(shù) z ′ ，使 z z ′ ＝ 1 ，則 z ′ 叫做 z 的倒數(shù)，記作1z，設(shè)1z＝ x ＋ y i ，則 ( a＋ b i ) ( x ＋ y i) ＝ 1 ，兩邊同乘 ( a － b i) ，得 ( a － b i ) ( a ＋ b i ) ( x ＋ y i) ＝ a－ b i ， ( a2＋ b2)( x ＋ y i) ＝ a － b i ，因此 x ＋ y i ＝a － b ia2＋ b2＝aa2＋ b2
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