人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第1課時利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(已修改)
2024-12-03 20:10 本頁面
【正文】 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第 1課時 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 第一章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 研究股票時，我們最關(guān)心的是股票的發(fā)展趨勢 (走高或走低 )以及股票價格的變化范圍 (封頂或保底 )．從股票走勢曲線圖來看，股票有升有降．在數(shù)學(xué)上，函數(shù)曲線也有升有降，就是我們常說的單調(diào)性． 那么，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？ ？ 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？ 答案： A內(nèi)某個區(qū)間 M上的任意兩個自變量的值 x x2，當(dāng) x2－ x10時，都有 f(x2)－ f(x1)0，則稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 M上是增函數(shù)；如果對于定義域 A內(nèi)某個區(qū)間 M上的任意兩個自變量的值 x x2，當(dāng) x2－ x10時，都有 f(x2)－ f(x1)0，那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 M上是減函數(shù)． 2．函數(shù) y＝ f(x)在 x＝ x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線 y＝ f(x)在點 (x0，f(x0))處切線的斜率，即 k＝ f′(x0). 一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 我們知道，函數(shù) y ＝ f ( x ) 曲線上一點處的切線斜就是這一點處的導(dǎo)數(shù)值，當(dāng)切線斜率為正時， f ′ ( x ) 0 ，切線的傾斜角小于 9 0 176。 ，函數(shù)曲線呈上升趨勢；當(dāng)切線斜率為負(fù)時， f ′ ( x ) 0 ，切線的傾斜角大于 9 0 176。 ，函數(shù)的曲線呈下降趨勢．如圖． 1．由此我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則： (1)如果在 (a， b)內(nèi)， f′(x)0，則 f(x)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，(a， b)為 f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)如果在 (a， b)內(nèi)， f′(x)0，則 f(x)在此區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，(a， b)為 f(x)的單調(diào)減區(qū)間． 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 f′(x)＝ 0，則 f(x)等于常數(shù)．如果函數(shù) y＝ f(x)在 x的某個開區(qū)間內(nèi)，總有 f′(x)0，則 f(x)在這個區(qū)間上嚴(yán)格遞增，這時該函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)為嚴(yán)格增函數(shù)；如果函數(shù)y＝ f(x)在自變量 x的某個開區(qū)間內(nèi)，總有 f′(x)0，則 f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為嚴(yán)格減函數(shù)． 注意： f ′ ( x ) 0 是 f ( x ) 為增函數(shù)的一個充分不必要條件，f ′ ( x ) 0 是 f ( x ) 為減函數(shù)的充分不必要條件．如 f ( x ) ＝ x3在 R 上為增函數(shù)，而 f ′ ( 0 ) ＝ 0 ，所以在 x ＝ 0 處不滿足 f ′ ( x ) 0 .故有可導(dǎo)函數(shù) f ( x ) 在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 ( 或遞減 ) 的充要條件為f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0 ) ( f ′ ( x ) 不恒為零 ) ． 2 ．利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明可導(dǎo)函數(shù) y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)單調(diào)性的步驟： ( 1 ) 求 f ′ ( x ) ； ( 2 ) 確定 f ′ ( x ) 在 ( a ， b ) 內(nèi)的符號； ( 3 ) 得出結(jié)論． 討論函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ ax ( a 0 ) 的單調(diào)性． [ 解析 ] 易知函數(shù)的定義域為 { x | x ∈ R ， x ≠ 0} ． f ′ ( x ) ＝ ( x＋ax) ′ ＝ 1 －ax2 ＝1x2 ( x ＋ a )( x － a ) ． 令 f ′ ( x ) 0 ，則1x2 ( x ＋ a )( x － a ) 0 ， 解得 x － a ，或 x a ， 知函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ，－ a ) ， ( a ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)； 令 f ′ ( x ) 0 ，解得－ a x a ，且 x ≠ 0 ，故函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間( － a ， 0) ， (0 ， a ) 上是減函數(shù)． 二、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 f′(x)0，則 f(x)為增函數(shù)；如果 f′(x)0，則 f(x)為減函數(shù)；如果 f′(x)＝ 0，則 f(x)為常數(shù)． 一般情況下，函數(shù)在它的定義區(qū)
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