人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第3章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入章末歸納總結(jié)(已修改)
2024-12-04 15:23 本頁面
【正文】 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第三章 章末歸納總結(jié) 第三章 知 識 結(jié) 構(gòu) 1 知 識 梳 理 2 隨 堂 練 習(xí) 4 專 題 探 究 3 知 識 結(jié) 構(gòu) 知 識 梳 理 本章在小學(xué)、初中和高中所學(xué)知識的基礎(chǔ)上，介紹復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算和數(shù)系的擴充等內(nèi)容． 本章共分兩大節(jié)．第一大節(jié)是 “ 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念 ” ．第二大節(jié)是 “ 復(fù)數(shù)的運算 ” ．在第一大節(jié)中，首先簡要地展示了數(shù)系的擴充過程，回顧了數(shù)的發(fā)展，并指出當數(shù)集擴充到實數(shù)集時，由于負數(shù)不能開平方，因而大量代數(shù)方程無法求解，于是就產(chǎn)生了要開拓新數(shù)集的要求，從而自然地引入虛數(shù) i，復(fù)數(shù)由此而產(chǎn)生，接著，介紹了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何表示． 主要涉及的概念有：復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、實部、虛部、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模等．在第二大節(jié)中，介紹了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除的運算法則，同時指出了復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義，復(fù)平 面上兩點間的距離公式，溝通了 “ 數(shù)與形 ” 之間的聯(lián)系，提供了用 “ 形 ” 來幫助處理 “ 數(shù) ” 和用“ 數(shù) ” 來幫助處理 “ 形 ” 的工具． 本章有兩條主線：一條主線是以復(fù)數(shù)代數(shù)形式來表示復(fù)數(shù)的概念．規(guī)定了加、乘兩種運算法則，然后把減、除法分別定義為加、乘法的逆運算來推導(dǎo)出其運算法則．利用復(fù)數(shù)的四則運算，可把復(fù)數(shù)代數(shù)形式 a ＋ b i 看成由 a 和 b i 兩個非同類項組成，這樣多項式的運算法則幾乎可以全部搬過來照用不誤，于是復(fù)數(shù)就與多項式、方程聯(lián)系起來，從而能幫助解決一些多項式中的因式分解、解方程等數(shù)學(xué)問題． 另一條主線是用復(fù)平面上的點或向量來描述 復(fù)數(shù)．由此引出了復(fù)數(shù)運算的幾何意義，使復(fù)數(shù)在平面幾何、解析幾何中得到廣泛應(yīng)用．這兩條主線在教材中是交替安排的，這樣能加強學(xué)生的 “ 形與數(shù) ” 結(jié)合的觀念，使學(xué)生在看到代數(shù)形式時就能聯(lián)想到幾何圖形，看到幾何圖形就能聯(lián)想到對應(yīng)的復(fù)數(shù)．有利于學(xué)生深入理解復(fù)數(shù)概念，開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)和提高用 “ 數(shù)形結(jié)合 ” 觀點來處理問題的能力． 學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾個問題： (1)對于復(fù)數(shù) z＝ a＋ bi(a， b∈ R)既要從整體的角度去認識它，把復(fù)數(shù)看成一個整體，又要從實部與虛部的角度分解成兩部分去認識它，這是理解復(fù)數(shù)問題的重要思路之一． (2)在復(fù)平面內(nèi)，如果復(fù)數(shù)變量按某種條件變化，那么對應(yīng)的動點就構(gòu)成具有某種特征的點的集合或軌跡，這種數(shù)形的有機結(jié)合，成為復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的重要解題途徑之一，注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． ( 3 ) 兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法，此外，要明確由一個復(fù)數(shù)等式可得到兩個實數(shù)等式這一性質(zhì)，在解決復(fù)數(shù)問題時經(jīng)常用到它． ( 4 ) 兩個復(fù)數(shù)的和、差、積、商仍是一個惟一確定的復(fù)數(shù)，要熟練掌握復(fù)數(shù)的乘、除法的運算法則． ( 5 ) 要善于用復(fù)數(shù)的幾何意義去解題，要深刻理解復(fù)數(shù)運算式 |z1－ z2|， |z1＋ z2|等的幾何意義，并會靈活運用．此外 z z ＝ |z |2＝ | z |2也是復(fù)數(shù)運算與實數(shù)運算互相轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)． 專 題 探 究 有關(guān)復(fù)數(shù)的概念 設(shè) z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，則 ( 1 ) z 是虛數(shù) ? b ≠ 0 ； ( 2 ) z 是純虛數(shù) ?????? a ＝ 0 ，b ≠ 0 ；( 3 ) z 是實數(shù) ? b ＝ 0. 在解題中，若實部、虛部中含有分式 、根式、對數(shù)式等，需先使其有意義，再進行分類． 當兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如 z ＝ a ＋ b i 的共軛復(fù)數(shù)為 z－＝ a － b i( a ， b ∈R ) ． 已知 m ∈ R ，復(fù)數(shù) z ＝m ? m ＋ 2 ?m －
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