人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章22第2課時反證法(已修改)
2024-12-03 20:06 本頁面
【正文】 推理與證明 第二章 直接證明與間接證明 第 2課時 反證法 第二章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 甲、乙、丙三人站成一列，甲在前，丙在后，乙在中間．有 3 紅 2黑 5 頂帽子，現(xiàn)在隨機抽取 3 頂分別戴在甲、乙、丙三人頭上．只有站在后面的人才可以看見前面的人頭上帽子的顏色．讓這三人各自猜自己頭上帽子的顏色，結(jié)果丙先說不知道，然后乙也說不知道，最后甲猜出自己頭上帽子的顏色是紅色的．你知道甲是怎么推理的嗎？ ？ 什么樣的命題具有相同的真假性 ？ 2． 你知道如何將 “ 他倆說的都對 ” 否定嗎 ？ 答案： ：原命題 、 否命題 、 逆命題 、 逆否命題四種形式 ， 一個命題和它的逆否命題具有相同的真假性 ． 2． 他倆說的不都對 . 一、反證法 1 ．反證法的定義 一般地，由證明 p ? q 轉(zhuǎn)向證明 172。 q ? r ? ? ? t ， t 與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定 172。 q 為假，推出 q 為真的方法，叫做反證法． 2． 反證法的證題步驟 3． 注意的問題 (1)反證法中的 “ 反設(shè) ” 是應(yīng)用反證法的第一步 ， 也是關(guān)鍵的一步 ． “ 反設(shè) ” 的結(jié)論將是下一步 “ 歸謬 ” 的一個已知條件 ． “ 反設(shè) ” 是否正確 、 全面 ， 將直接影響下一步的證明 ． 要做好 “ 反設(shè) ” 必須正確分清題設(shè)和結(jié)論；對結(jié)論實施正確的否定；對結(jié)論否定時 ， 找出其所有的分類情況 ． 在否定命題的結(jié)論時 ， 當(dāng)命題的結(jié)論的反面非常明顯并且只有一種情形時 ， 比較容易作出否定 ， 但命題的結(jié)論的反面是多種情形或者比較隱晦時 ， 就不太容易作出否定 ． 這時必須認真分析 、 仔細推敲 ， 在提出 “ 假設(shè) ” 后 ， 再回過頭來看看 “ 假設(shè) ” 的對立面是否恰是命題的結(jié)論 ． (2) 反證法的 “ 歸謬 ” 是反證法的核心，其含義是：從命題的結(jié)論的假設(shè) ( 即把 “ 反設(shè) ” 作為一個新的已知條件 ) 及原命題的條件出發(fā)，引用一系列的論據(jù)進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果． 3 ．常見的 “ 原結(jié)論詞 ” 與 “ 假設(shè)詞 ” 原結(jié)論詞 只有一個 對所有 x 成立 對任意 x 不成立 假設(shè)詞 沒有或至 少有兩個 存在某個 x 不成立 存在某個 x 成立 原結(jié)論詞 都是 一定是 p 或 q p 且 q 假設(shè)詞 不都是 一定不是 172。 p 且 172。 q 172。 p 且 172。 q 原結(jié)論詞 至少有一個 至多有一個 至少有 n 個 至多有 n 個 假設(shè)詞 一個也沒有 ( 不存在 ) 至少有兩個 至多有 ( n － 1) 個 至少有 ( n ＋ 1) 個 已知 p3＋ q3＝ 2， 求證： p＋ q≤2. [ 證明 ] 假設(shè) p ＋ q 2 ，則 q 2 － p ， 從而 q38 － 12 p ＋ 6 p2－ p3， 即 q32 ＋ 6( p － 1)2－ p3， 于是 p3＋ q32 ＋ 6( p － 1)2. 又 ∵ ( p － 1)2≥ 0 ， ∴ p3＋ q32. 此結(jié)論與已知 p3
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