人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第1課時(shí)曲邊梯形面積與定積分-wenkub
2022-11-28 20:10:21 本頁(yè)面
【正文】 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)定義在區(qū)間 [a， b]上 (如圖 )，用分點(diǎn) a＝x0x1x2? xn－ 1xn＝ b把區(qū)間 [a， b]分為 n個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為 Δxi＝ xi＋ 1－ xi， i＝ 0,1,2， ? ， n－ 1. 記 λ 為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng) λ 趨近于 0 時(shí)，所有的小區(qū)間長(zhǎng)度都趨近于 0. 在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) ξi，作和式 In＝?i ＝ 0n － 1f ( ξi)Δ xi. 當(dāng) λ → 0 時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式 In的極限叫做函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上的定積 分，記作????abf ( x )d x ，即????abf ( x )d x ＝l i mλ → 0?i ＝ 0n － 1f ( ξi)Δ xi. 其中 f ( x ) 叫做被積函數(shù)， a 叫積分下限， b 叫積分上限，f ( x )d x 叫被積式，此時(shí)稱(chēng)函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上可積． 注意： ( 1 ) 定積分是一種 “ 和 ” 的極限，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即????abf ( x )d x ＝????abf ( u )d u ＝????abf ( t )d t＝ ? ( 稱(chēng)為積分形式的不變性 ) ． ( 2 ) 用定義求定積分的常用一般步驟是： ① 分割： n 等分區(qū)間 [ a ， b ] ； ② 近似代替：取點(diǎn) ξi∈ [ xi － 1， xi] ； ③ 求和： ?i ＝ 1nf ( ξi)16n ( n － 1 ) ( 2 n － 1) ＝16(1 －16)(2 －1n) ． ( 4 ) 取極限 S ＝ l i mn→ ＋ ∞Sn＝ l i mn→ ＋ ∞ 16(1 －1n)(2 －1n) ＝13 即求曲邊梯形的面積分為四步：分割、近似代替、求和、取極限，即 S ＝ l i mn→∞?i ＝ 0n－1f ( xi)Δ x . 注意： ( 1 ) 分割用 “ 以直代曲 ” 的方法求曲邊梯形的面積時(shí)，在分割過(guò)程中，分割得越細(xì)，近似代替后所求面積的和就越接近曲邊梯形的面積． ( 2 ) 在 “ 近似代替 ” 中，教材在每一個(gè)小區(qū)間 [i － 1n，in] 上取左端點(diǎn)，是為了計(jì)算方便，事實(shí)上，可以取右端點(diǎn)或區(qū)間上的任意點(diǎn)，沒(méi)有統(tǒng) 一的要求．為了運(yùn)算方便，通常取一些特殊點(diǎn)． 在求由 x＝ a， x＝ b(ab)， y＝ 0及 y＝ f(x)(f(x)≥0)圍成的曲邊梯形的面積 S時(shí)，在區(qū)間 [a， b]上等間隔地插入 n－ 1個(gè)分點(diǎn)，分別過(guò)這些分點(diǎn)作 x軸的垂線(xiàn)，把曲邊梯形分成 n個(gè)小曲邊梯形，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是 ( ) ① n個(gè)小曲邊梯形的面積和等于 S； ② n個(gè)小曲邊梯形的面積和小于 S； ③ n個(gè)小曲邊梯形的面積和大于 S； ④ n個(gè)小曲邊梯形的面積和與 S之間的大小關(guān)系不確定 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [答案 ] A [解析 ] 只有 ① 正確．故選 A. 3 ．求變力做功 如果物體在常力作用下沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且力與位移同向，則力對(duì)物體所做的功 W 就是 F 與位移的乘積．但如果作用的力不是一個(gè)常數(shù)，而是隨著位移的不同而變化，即力 F 是位移 x 的函數(shù) F ＝ F ( x ) ，假定物體在變力 F 的作用下沿 x 軸由 x ＝ a 移動(dòng)到b ( b a ) ，求這種變力所做的功是多少． 解： ( 1 ) 將 a 、 b 之間分割成 n 個(gè)小區(qū)間．設(shè) a ＝x0 x1 x2 ? xi － 1 xi ? xn＝ b . 記第 i個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為 Δ xi＝ xi ＋ 1－xi( i ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n － 1) ． 并在小區(qū)間 [ xi， xi ＋ 1] 內(nèi)任一點(diǎn)取 ξi. ( 2 ) 近似代替：如果區(qū)間很小，由 F 在 [ xi， xk ＋ 1] 內(nèi)變化不大，可近似看做常力，把 F ( ξi) 記作這個(gè)常力，則物體從 xi到 xi ＋ 1所做的功 Δ Wi≈ F ( ξi)Δ xi( i ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n － 1) ． ( 3 ) 求和：整個(gè)區(qū)間 [ a
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