人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法-wenkub
2022-11-28 20:10:19 本頁(yè)面
【正文】 (2) ，可知等式對(duì)任何 n ∈ N ＋ 都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n－ 1n2( n ∈N ＋ ) 時(shí)，由 n ＝ k 遞推到 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù) 是 ______ ，增加的式子是 __________________ ． [ 錯(cuò)解 ] 當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1；當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1＋12k ＋ 1－ 1. 所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)是 1 項(xiàng)，增加的式子是12k ＋ 1－ 1. [ 辨析 ] 仔細(xì)觀察 n ＝ k 變?yōu)?n ＝ k ＋ 1 時(shí)有何變化，需認(rèn)真觀察式子的特點(diǎn)，特別注意第 n 項(xiàng)并非它的通項(xiàng)．因分母是連續(xù)增大的正整數(shù)，所以12k－ 1的后面一項(xiàng)為12k ，接著的項(xiàng)為12k＋ 1，12k＋ 2，12k＋ 3， ? ，12k ＋ 1－ 1，即 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ?＋12k－ 1＋12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，所以增加的式子為12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，因?yàn)?2k ＋ 1－ 1＝12 2k－ 1＝12k＋ ? 2k－ 1 ?，所以增加的項(xiàng)數(shù)為 2k項(xiàng)． [ 正解 ] 2 k 12 k ＋ 12 k ＋ 1 ＋ ? ＋ 12 k ＋ 1 － 1 數(shù)學(xué)歸納法????? 數(shù)學(xué)歸納法定義 ? 了 解 ?數(shù)學(xué)歸納法證明步驟 ? 掌握 ?數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 ? 掌握 ? 。 ak － 1? ? a2 7 k － 1 ，而證法 2 則是通過(guò)計(jì)算f ( k ＋ 1) － f ( k ) ，避免了湊的過(guò)程． 求證：當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除． [ 證明 ] (1) 顯然，當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，命題成立，即 x1＋ y1能被 x＋ y 整除． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ 2 k － 1( k ∈ N*) 時(shí)命題成立，即 ( x ＋ y ) 能整除 x2 k－ 1＋ y2 k － 1 則當(dāng) n ＝ 2 k ＋ 1 時(shí)， x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1＝ x2x2 k － 1＋ x2y2 k － 1－ x2y2 k － 1＋ y2y2 k － 1 ＝ x2( x2 k － 1＋ y2 k － 1) － ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∵ x ＋ y 能整除 ( x2 k － 1＋ y2 k － 1) 又 x ＋ y 能整除 ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∴ ( x ＋ y ) 能整除 ( x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1) 由 (1) 、 (2) 可知當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí) xn＋ yn能被 x ＋ y 整除 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題 平面內(nèi)有 n 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這 n 條直線把平面分割成12( n2＋ n ＋ 2) 個(gè)區(qū)域． [ 分析 ] 可選用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，關(guān)鍵是考慮： k 條直線將平面分成的部分的塊數(shù)與 k ＋ 1 條直線將平面分成的部分的塊數(shù)之間的關(guān)系，利用該關(guān)系可以實(shí)施從 假設(shè) n ＝ k 到 n ＝ k＋ 1 時(shí)的證明． [ 證明 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域，又12(12＋ 1 ＋ 2) ＝ 2 ， ∴ n ＝ 1 時(shí)命題成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時(shí)，命題成立，即直線把平面分割成了12( k2＋k ＋ 2) 個(gè)區(qū)域． 那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， k ＋ 1 條直線中的 k 條直線把平面分成了12( k2＋ k ＋ 2) 個(gè)區(qū)域，第 k ＋ 1 條直線被這 k 條直線分成 k ＋ 2條線段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了 k ＋ 1個(gè)區(qū)域，所以 k ＋ 1 條直線把平面分成了12( k2＋ k ＋ 2) ＋ k ＋ 1 ＝12[( k ＋ 1)2＋ ( k ＋ 1) ＋ 2] 個(gè)區(qū)域， ∴ n ＝ k ＋ 1 時(shí)命題也成立． 由 (1) 、 (2) 知，對(duì)一切 n ∈ N*，此命題均成立． [ 方法總結(jié) ] 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，一定要清楚從 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，新增加的量是多少，一般地，證明第二步時(shí)，常用的方法是加 1 法．即在原來(lái) k 的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)，當(dāng)然我們也可以從 k ＋ 1 個(gè)中分出 1 個(gè)來(lái)，剩下的 k 個(gè)利用假設(shè)． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸 n 邊形的對(duì)角線的條數(shù)： f ( n ) ＝12 n ( n－ 3) ( n ≥ 3) ． [ 證明 ] ① 當(dāng) n ＝ 3 時(shí)，12n ( n － 3) ＝ 0 ，這就說(shuō)明三角形沒(méi)有對(duì)角線，故結(jié)論正確． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ≥ 3 ， k ∈ N ＋ ) 時(shí)結(jié)論正確， 即凸 k 邊形的對(duì)角線有12k ( k － 3) 條， 則當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，凸 ( k ＋ 1) 邊形 A1A2A3? AkAk ＋ 1的對(duì)角線條數(shù)有以下三部分的條數(shù)相加而得． 由歸納假設(shè)知，凸 k 邊形 A1A2A3? Ak的對(duì)角線條數(shù)為12k ( k－ 3) ； 對(duì)角線 A1Ak是一條；而頂點(diǎn) Ak ＋ 1與另外 ( k － 2) 個(gè)頂點(diǎn) A2，A3? Ak － 1可畫出 ( k － 2) 條對(duì)角線， 所以凸 ( k ＋ 1) 邊形的對(duì)角線的條數(shù)為 12k ( k － 3) ＋ 1 ＋ ( k － 2) ＝12( k2－ 3 k ＋ 2 k － 2) ＝12( k2－ k － 2) ＝12( k ＋ 1) ( k － 2) ＝12( k ＋ 1)[( k ＋ 1) － 3] ， 所以當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)結(jié)論也正確． 由 ① 和 ② 知，結(jié)論對(duì)從 n ＝ 3 起的所有自然數(shù)都正確 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題 設(shè)數(shù)列 a 1 ， a 2 ， ? a n ， ? 中的每一項(xiàng)都不為 0. 證明： { a n } 為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何 n ∈ N ＋ ，都有1a 1 a 2＋1a 2 a 3＋ ? ＋1a n a n ＋ 1＝na 1 a n ＋ 1. [分析 ] 本題考查等差數(shù)列 、 數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識(shí)
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