人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法-wenkub
2022-11-28 20:10:19 本頁面
【正文】 (2) ，可知等式對任何 n ∈ N ＋ 都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n－ 1n2( n ∈N ＋ ) 時，由 n ＝ k 遞推到 n ＝ k ＋ 1 時，左邊增加的項數(shù) 是 ______ ，增加的式子是 __________________ ． [ 錯解 ] 當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1；當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1＋12k ＋ 1－ 1. 所以左邊增加的項數(shù)是 1 項，增加的式子是12k ＋ 1－ 1. [ 辨析 ] 仔細觀察 n ＝ k 變?yōu)?n ＝ k ＋ 1 時有何變化，需認真觀察式子的特點，特別注意第 n 項并非它的通項．因分母是連續(xù)增大的正整數(shù)，所以12k－ 1的后面一項為12k ，接著的項為12k＋ 1，12k＋ 2，12k＋ 3， ? ，12k ＋ 1－ 1，即 n ＝ k ＋ 1 時，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ?＋12k－ 1＋12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，所以增加的式子為12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，因為12k ＋ 1－ 1＝12 2k－ 1＝12k＋ ? 2k－ 1 ?，所以增加的項數(shù)為 2k項． [ 正解 ] 2 k 12 k ＋ 12 k ＋ 1 ＋ ? ＋ 12 k ＋ 1 － 1 數(shù)學(xué)歸納法????? 數(shù)學(xué)歸納法定義 ? 了 解 ?數(shù)學(xué)歸納法證明步驟 ? 掌握 ?數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 ? 掌握 ? 。 ak － 1? ? a2 7 k － 1 ，而證法 2 則是通過計算f ( k ＋ 1) － f ( k ) ，避免了湊的過程． 求證：當(dāng) n 為正奇數(shù)時， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除． [ 證明 ] (1) 顯然，當(dāng) n ＝ 1 時，命題成立，即 x1＋ y1能被 x＋ y 整除． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ 2 k － 1( k ∈ N*) 時命題成立，即 ( x ＋ y ) 能整除 x2 k－ 1＋ y2 k － 1 則當(dāng) n ＝ 2 k ＋ 1 時， x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1＝ x2x2 k － 1＋ x2y2 k － 1－ x2y2 k － 1＋ y2y2 k － 1 ＝ x2( x2 k － 1＋ y2 k － 1) － ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∵ x ＋ y 能整除 ( x2 k － 1＋ y2 k － 1) 又 x ＋ y 能整除 ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∴ ( x ＋ y ) 能整除 ( x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1) 由 (1) 、 (2) 可知當(dāng) n 為正奇數(shù)時 xn＋ yn能被 x ＋ y 整除 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 平面內(nèi)有 n 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這 n 條直線把平面分割成12( n2＋ n ＋ 2) 個區(qū)域． [ 分析 ] 可選用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，關(guān)鍵是考慮： k 條直線將平面分成的部分的塊數(shù)與 k ＋ 1 條直線將平面分成的部分的塊數(shù)之間的關(guān)系，利用該關(guān)系可以實施從 假設(shè) n ＝ k 到 n ＝ k＋ 1 時的證明． [ 證明 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時，一條直線把平面分成兩個區(qū)域，又12(12＋ 1 ＋ 2) ＝ 2 ， ∴ n ＝ 1 時命題成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時，命題成立，即直線把平面分割成了12( k2＋k ＋ 2) 個區(qū)域． 那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時， k ＋ 1 條直線中的 k 條直線把平面分成了12( k2＋ k ＋ 2) 個區(qū)域，第 k ＋ 1 條直線被這 k 條直線分成 k ＋ 2條線段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了 k ＋ 1個區(qū)域，所以 k ＋ 1 條直線把平面分成了12( k2＋ k ＋ 2) ＋ k ＋ 1 ＝12[( k ＋ 1)2＋ ( k ＋ 1) ＋ 2] 個區(qū)域， ∴ n ＝ k ＋ 1 時命題也成立． 由 (1) 、 (2) 知，對一切 n ∈ N*，此命題均成立． [ 方法總結(jié) ] 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，一定要清楚從 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 時，新增加的量是多少，一般地，證明第二步時，常用的方法是加 1 法．即在原來 k 的基礎(chǔ)上，再增加一個，當(dāng)然我們也可以從 k ＋ 1 個中分出 1 個來，剩下的 k 個利用假設(shè)． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸 n 邊形的對角線的條數(shù)： f ( n ) ＝12 n ( n－ 3) ( n ≥ 3) ． [ 證明 ] ① 當(dāng) n ＝ 3 時，12n ( n － 3) ＝ 0 ，這就說明三角形沒有對角線，故結(jié)論正確． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ≥ 3 ， k ∈ N ＋ ) 時結(jié)論正確， 即凸 k 邊形的對角線有12k ( k － 3) 條， 則當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時，凸 ( k ＋ 1) 邊形 A1A2A3? AkAk ＋ 1的對角線條數(shù)有以下三部分的條數(shù)相加而得． 由歸納假設(shè)知，凸 k 邊形 A1A2A3? Ak的對角線條數(shù)為12k ( k－ 3) ； 對角線 A1Ak是一條；而頂點 Ak ＋ 1與另外 ( k － 2) 個頂點 A2，A3? Ak － 1可畫出 ( k － 2) 條對角線， 所以凸 ( k ＋ 1) 邊形的對角線的條數(shù)為 12k ( k － 3) ＋ 1 ＋ ( k － 2) ＝12( k2－ 3 k ＋ 2 k － 2) ＝12( k2－ k － 2) ＝12( k ＋ 1) ( k － 2) ＝12( k ＋ 1)[( k ＋ 1) － 3] ， 所以當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時結(jié)論也正確． 由 ① 和 ② 知，結(jié)論對從 n ＝ 3 起的所有自然數(shù)都正確 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 設(shè)數(shù)列 a 1 ， a 2 ， ? a n ， ? 中的每一項都不為 0. 證明： { a n } 為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何 n ∈ N ＋ ，都有1a 1 a 2＋1a 2 a 3＋ ? ＋1a n a n ＋ 1＝na 1 a n ＋ 1. [分析 ] 本題考查等差數(shù)列 、 數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識
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