人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章推理與證明-wenkub
2022-11-28 20:10:16 本頁面
【正文】 檢驗，即可得證． [ 證明 ] (1) ∵ a ∈ A ， a ≠ 1 ，則1a － 1∈ A . ∴ 2 ∈ A 時，有11 － 2＝－ 1 ∈ A . 由于－ 1 ≠ 1 ，有11 － ? － 1 ?＝12∈ A . 由于12≠ 1 ，有11 －12＝ 2 ∈ A . 如此循環(huán)可知集合 A 中的另外兩個元素為12，－ 1. (2) ∵ 集合 A 非空，故存在 a ∈ A ， a ≠ 1 ，有11 － a∈ A ， ∴11 － a∈ A 且11 － a≠ 1 ， 即 a ≠ 0 時，有11 －11 － a＝a － 1a∈ A ，即如此循環(huán)出現(xiàn)三個數(shù) a ，11 － a，a － 1a∈ A . 若 a ＝11 － a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． 若11 － a＝a － 1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． 若 a ＝a － 1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． ∴ a ，11 － a，a － 1a互不相等，故集合 A 中至少有三個不同元素． [ 方法總結(jié) ] 本題考查了集合的定義、性質(zhì)、二次方程的根等知識，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力 . 綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法 ， 應(yīng)用綜合法證明問題時 ， 必須首先想到從哪里開始起步 ， 分析法就可以幫助我們克服這種困難 ． 在實際證明問題時 ， 應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法綜合起來使用 ， 轉(zhuǎn)換解題思路 ， 增加解題途徑 ． 綜合法和分析法 若 sin α ＋ c os α ＝ 1 ，求證： sin 6 α ＋ cos 6 α ＝ 1. [ 分析 ] 由三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ，從sin 6 α ＋ cos 6 α 出發(fā)，借助于立方和公式將待證式的次數(shù)降低后再進(jìn)行證明． [ 證明 ] sin6α ＋ cos6α ＝ (s in2α )3＋ (cos2α )3 ＝ (s in2α ＋ c os2α ) q ” 為假，從而可以導(dǎo)出 “ 若 p ，則 q ” 為真，從而達(dá)到證明的目的．反證法反映了 “ 正難則反 ” 的解題思想． 若 x ， y ， z 均為實數(shù)，且 a ＝ x2－ y － z ＋π2， b ＝y(tǒng)2－ x － z ＋π3， c ＝ z2－ x － y ＋π4，求證： a ， b ， c 中至多有兩個小于或等于零． [ 證明 ] 假設(shè) a ， b ， c 都小于或等于零，則 a ＋ b ＋ c ≤ 0. 所以 ( x2－ y － z ＋π2) ＋ ( y2－ x － z ＋π3) ＋ ( z2－ x － y ＋π4) ＝ x2－ 2 x＋ y2－ 2 y ＋ z2－ 2 z ＋13π12≤ 0 ，即 ( x － 1)2＋ ( y － 1) ＋ ( z － 1)2≤ 3 －1312π. 因為 ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2≥ 0 ，所以 3 －13π12≥ 0 ，即36 ≥ 13π ，這與基本事實 3613π 相矛盾． 故 a ， b ， c 中至多有兩個小于或等于零 . 用數(shù)學(xué)歸納法證題 數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵 “ 一湊假設(shè)，二湊結(jié) 論 ” ，其在高考中有著廣泛的考查猜想、歸納等培養(yǎng)探索問題的能力，因此成為高考的考查重點，要引起足夠的重視． 求證： 1 －1
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