人教b版高中數(shù)學選修2-2第3章32第2課時復數(shù)的乘法與除法-wenkub
2022-11-28 20:06:36 本頁面
【正文】 i ， 即1z＝aa2＋ b2－ba2＋ b2i ，顯然1z＝z－|z |2 . 2 ．復數(shù)除法的運算法則 ( a ＋ b i ) 247。i ＝ (i4)n 3 i2，取 ω1＝－ 1 ＋ 3 i2， ω2＝－ 1 － 3 i2，則具有如下關系： ( 1 ) ω31＝ ω32＝ 1 ； ( 2 ) 1 ＋ ω1＋ ω2＝ 0 ； ( 3 ) ω21＝ ω2或 ω22＝ ω1； ( 4 ) ω1＝ ω－2且 ω－1＝ ω2； ( 5 ) ω1 z2， z1 |z2|； ( 3 ) |z1z2|＝|z1||z2|( z2≠ 0) ； ( 4 ) |zn|＝ |z |n； ( 5 ) |z |＝ 1 ? z i ＋ ( － 2 i )3 ?12－32i ?[ ?12－32i ?3]3 ＝ [( －12＋32i)3]4＋ ( － 8 ＋ 8 3i ) ＝ 1 － 8 ＋ 8 3i ＝－ 7 ＋ 8 3i . [ 方法總結 ] ( 1 ) 復數(shù)的運算順序與實數(shù)的運算順序相同，都是先進行高級運算 ( 乘方、開方 ) ，再進行次級運算 ( 乘、除 ) ，最后進行低級運算 ( 加、減 ) ．如 i 的冪運算，先利用 i 的冪的周期性，將其次數(shù)降低，然后再進行四則運算． ( 2 ) 對于復數(shù)的運算，除應用四則運算法則之外，對于一些簡單的算式要知道其結果，計算過程就可以簡化，起到快速簡捷出錯少的效果，如下結果，要記住． ① ( 1 177。會寧縣期中 ) 復數(shù) z ＝－ 3 ＋ i2 ＋ i的共軛復數(shù)是 ( ) A ． 2 ＋ i B ． 2 － i C ．－ 1 ＋ i D ． － 1 － i [ 答案 ] D [ 解析 ] 本題考查了復數(shù)的除法運算以及共軛復數(shù)的求法． z ＝－ 3 ＋ i2 ＋ i＝? － 3 ＋ i ?? 2 － i ?? 2 ＋ i ?? 2 － i ?＝－ 5 ＋ 5i5＝－ 1 ＋ i ，故 z 的共軛復數(shù)為－ 1 － i. 在將復數(shù)的分母實數(shù)化時，要注意 i 前的系數(shù)的正負． ( 3 ) 計算 1i ( 2 ＋ 2 i) 5 ＋????????11 ＋ i4 ＋????????1 ＋ i1 － i7 . [ 解析 ] 原式＝－ i z 2 ∈ C ，且 |z 1 |＝ |z 2 |＝ 1 ， |z 1 ＋ z 2 |＝ 2 ，求 |z 1－ z 2 |. [ 分析 ] 解答本題可由 |z 1 ＋ z 2 |＝ 2 ，結合 z z2＋ z1 z2＝ |z2|2＝ 1 ， ∴ z1 z2－ ( z1 z2＋ z2 c o s( A － C ) ＝ 1 －12c o s( A － C ) ． 由 A ＋ C ＝ 1 2 0 176。 . ∴ －12c o s( A － C ) ≤ 1. ∴12≤ 1 －12c o s( A － C )54. ∴ |u ＋ z 2 |的取值范圍是????????12，54. [ 方法總結 ] 本題是一道復數(shù)和三角函數(shù)的綜合題，利用了降冪公式．角的和差化積的技巧，最后轉化成一個三角函數(shù)式在特定區(qū)間上的取值范圍問題，需要扎實細致 的基本功和運算技巧． 設等比數(shù)列 z 1 ， z 2 ， z 3 ， ? ， z n ，其中 z 1 ＝ 1 ， z 2 ＝ a ＋ b i ， z 3＝ b ＋ a i( a ， b ∈ R ，且 a 0 ) ． ( 1 ) 求 a ， b 的值； ( 2 ) 試求使 z 1 ＋ z 2 ＋ ? ＋ z n ＝ 0 的最小自然數(shù) n ； ( 3 ) 對 ( 2 ) 中的自然數(shù) n ，求 z 1 z3，即 ( a ＋ b i)2＝ b ＋ a i. ∴????? a2－ b2＝ b2 ab ＝ a. ∵ a 0 ， ∴ b ＝12， a ＝32. ( 2 ) ∵ z1＝ 1 ， z2＝32＋12i ， ∴ 公比 q ＝32＋12i ， ∵ zn＝ (32＋12i)n － 1. ∴ z1＋ z2＋ ? ＋ zn＝ 1 ＋ q ＋ q2＋ ? ＋ qn － 1＝1 － qn1 － q＝ 0 ， ∵ qn＝ 1. ∴ (32＋12i)n＝ ( － i)n( －12＋32i)n＝ 1. ∵ ( －12＋32i)3＝ 1 ， ( － i)4＝ 1 ， ∴ n 既是 3 的倍數(shù)，又是 4 的倍數(shù)． ∴ n 的最小值為 12. ( 3 ) z1 zn ＝ 1 ( － i ) ]66 ＝ ( － i)66＝ i2＝－ 1. 已知 |z|＝
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