【正文】 ＝ k ＋ 1證明目標的表達式變形． n ∈ N*，求證： 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 n － 1－12 n＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋12 n. [ 證明 ] (1) 當 n ＝ 1 時，左邊＝ 1 －12＝12，右邊＝11 ＋ 1＝12.左邊＝右邊． (2) 假設(shè) n ＝ k 時等式成立，即 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k － 1－12 k＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k， 則當 n ＝ k ＋ 1 時， ????????1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k － 1－12 k＋????????12 k ＋ 1－12 k ＋ 2 ＝????????1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k＋????????12 k ＋ 1－12 k ＋ 2 ＝1k ＋ 2＋1k ＋ 3＋ ? ＋12 k ＋ 1＋12 k ＋ 2. 即當 n ＝ k ＋ 1 時，等式也成立． 綜合 (1) 、 (2) 可知，對一切 n ∈ N*，等式成立 . 用數(shù)學歸納法證明不等式 用數(shù)學歸納法證明： 1 ＋12 2＋13 2＋ ? ＋1n 22 －1n ( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ． [ 證明 ] 1176。 7k ＝ [(3 k ＋ 1) (2 k ＋ 3) ak － 1? a 2 7k＋ 27 7 k － 1 與 (3 k ＋ 4) 7 n － 1 能被 9 整除． [ 分析 ] 當 n ＝ 1 時，原式＝ 27 能被 9 整除，因此，要研究(3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＋ 18 k a 2 ＝ 22， ∴ a 2 ＝ 22， ∵ a 1 ak＝? k ＋ 1 ?2? k － 1 ?2 7k. 由于 f ( k ) 能被 9 整除， 9(2 k ＋ 3) 7k－ 1] ＋ 18 k 當 n ＝ 2 時， 1 ＋122 ＝5432＝ 2 －12，命題成立． 2176。 7k－ 1 能被 9 整除． 當 n ＝ k ＋ 1 時， [(3 k ＋ 3) ＋ 1] 7k能被 9 整除，所以 [3( k ＋ 1) ＋ 1] ak － 1＝ ( k － 1)2， a1 ? 7n－ 1. (1) f (1) ＝ (3 1 ＋ 1) 7 2 ．證題時的具體步驟 第一步，證明當 n 取第一個值 n0( 例如 n0＝ 1 或 2 時結(jié)論正確 ) ； 第二步，假設(shè)當 n ＝ k ( k ∈ N ＋ 且 k ≥ n0) 時結(jié)論正確，證明當n ＝ k ＋ 1 時結(jié)論也正確． 在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從 n0開始的所有正整數(shù) n 都正確， 注意： (1)第一步是驗證命題遞推的基礎(chǔ) ， 第二步是論證命題遞推的依據(jù) ， 這兩個步驟缺一不可 ． (2)用數(shù)學歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在于第二步 ， 即 n＝ k＋ 1時為什么成立 ？ n＝ k＋ 1時成立是利用假設(shè) n＝ k時成立 ， 根據(jù)有關(guān)的定理 、 定義 、 公式 、 性質(zhì)等數(shù)學結(jié)論推證出 n＝ k＋ 1時成立 ， 而不是直接代入 ， 否則 n＝ k＋ 1時也成假設(shè)了 ， 命題并沒有得到證明 ． (3)數(shù)學歸納法僅適用于與正整數(shù) n有關(guān)的數(shù)學命題 ， 的證明 ， 如與正整數(shù)有關(guān)的恒等式 、 不等式 、 數(shù)的整除性 、 幾何問題 、 探求數(shù)列的通項和前 n項和等問題 ． 用數(shù)學歸納法證明某命題時，左式為12＋ cos α ＋ cos3 α ＋ ?＋ cos(2 n － 1) α ( α ≠ k π ， k ∈ Z ， n ∈ N*) ，在驗證 n ＝ 1 時，左邊所得的代數(shù)式為 ( ) A.12 B.12＋ cos α C.12＋ cos α ＋ cos3 α D.12＋ cos α ＋ cos3 α ＋ cos 5 α [ 答案 ] B [ 解析 ] 令 n ＝ 1 ，左式＝ 12 ＋ cos α . 故選 B. 二 、 數(shù)學歸納法的應(yīng)用 數(shù)學歸納法常用來解決與正整數(shù)有關(guān)的問題 ， 具有廣泛的應(yīng)用 ． 1． 證明等式 證明這類命題是 “ 一湊一變 ” ， 突出 “ 變 ” 字 ， “ 湊 ” 是指由 n＝ k＋ 1的左端湊出 n＝ k的左端 ， 或由 n＝ k的左瑞湊出 n＝ k＋ 1的左端； “ 變 ” 是指把拼湊的式子變?yōu)?n＝ k＋ 1的右端 ． 2． 證明不等式 證明這類題的關(guān)鍵是 “ 一湊一證 ” ， 常結(jié)合其他方法 (如放縮法等 )完成 “ 一證 ” ． 3 ．證明整除問題 證明這類問題的關(guān)鍵是 “ 湊項 ” ，采用增項、減項、拆項和因式分解等方法，也可以說將式子 “ 硬提公因式 ” ，即將 n＝ k 時的項從 n ＝ k ＋ 1 時的項中 “ 硬提出來 ” ，構(gòu)成 n ＝ k 的項，后面的式子相對變形，使之與 n ＝ k ＋ 1 時的項相同，從而達到利用假設(shè)的目的． 4 ．證明幾何問題 此類問題證明的關(guān)鍵是要弄清楚當由 n ＝ k 推導 n ＝ k ＋ 1 的情形時，幾何圖形的變化規(guī)律． 5 ．證明數(shù)列問題 數(shù)列與數(shù)學歸納法有著非常密切的關(guān)系，我們知道，數(shù)列是定義在 N ＋ ( 或它的有限子集 {1 ,2,3 ， ? ， n }) 上的函數(shù)，這與數(shù)學歸納法運用的范圍是一樣的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上也是一致的．為此數(shù)列中有不少問題都可用數(shù)學歸納法予以證明，諸如數(shù)列的通項，前 n 項和 Sn的增減性、有界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，沒有固定的格式，有一定的綜合性，是最近幾年高考的熱點問題之一，證明時要靈活應(yīng)用題目中的已知條件，充分考慮 “ 假設(shè) ” 這一步的應(yīng)用，不利用假設(shè)而進行 的證明不是數(shù)學歸納法． 已知數(shù)列 { a n } 的通項公式 a n ＝4? 2 n － 1 ?2 ，數(shù)列 { b n } 的通項滿足 b n ＝ (1 － a 1 )(1 － a 2 ) ? (1 － a n ) ，試證明： b n ＝2 n ＋ 11 － 2 n. [ 證明 ] (1) 當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ 4 ， b 1 ＝ 1 － 4 ＝－ 3 ， b 1 ＝2 1 ＋ 11 － 2 1＝－ 3 ，等式成立． (2) 假設(shè) n ＝ k ( k ≥ 1 ， k ∈ N ＋ ) 時等式成立，即 bk＝2 k ＋ 11 － 2 k， 那么 n ＝ k ＋ 1 時 ，有 bk ＋ 1＝ (1 － a1)(1 － a2) ? (1 － ak)(1 － ak ＋1