人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法-文庫吧資料
2024-11-25 20:10本頁面
【正文】 命題成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時，命題成立，即直線把平面分割成了12( k2＋k ＋ 2) 個區(qū)域． 那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時， k ＋ 1 條直線中的 k 條直線把平面分成了12( k2＋ k ＋ 2) 個區(qū)域，第 k ＋ 1 條直線被這 k 條直線分成 k ＋ 2條線段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了 k ＋ 1個區(qū)域，所以 k ＋ 1 條直線把平面分成了12( k2＋ k ＋ 2) ＋ k ＋ 1 ＝12[( k ＋ 1)2＋ ( k ＋ 1) ＋ 2] 個區(qū)域， ∴ n ＝ k ＋ 1 時命題也成立． 由 (1) 、 (2) 知，對一切 n ∈ N*，此命題均成立． [ 方法總結(jié) ] 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，一定要清楚從 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 時，新增加的量是多少，一般地，證明第二步時，常用的方法是加 1 法．即在原來 k 的基礎(chǔ)上，再增加一個，當(dāng)然我們也可以從 k ＋ 1 個中分出 1 個來，剩下的 k 個利用假設(shè)． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸 n 邊形的對角線的條數(shù)： f ( n ) ＝12 n ( n－ 3) ( n ≥ 3) ． [ 證明 ] ① 當(dāng) n ＝ 3 時，12n ( n － 3) ＝ 0 ，這就說明三角形沒有對角線，故結(jié)論正確． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ≥ 3 ， k ∈ N ＋ ) 時結(jié)論正確， 即凸 k 邊形的對角線有12k ( k － 3) 條， 則當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時，凸 ( k ＋ 1) 邊形 A1A2A3? AkAk ＋ 1的對角線條數(shù)有以下三部分的條數(shù)相加而得． 由歸納假設(shè)知，凸 k 邊形 A1A2A3? Ak的對角線條數(shù)為12k ( k－ 3) ； 對角線 A1Ak是一條；而頂點(diǎn) Ak ＋ 1與另外 ( k － 2) 個頂點(diǎn) A2，A3? Ak － 1可畫出 ( k － 2) 條對角線， 所以凸 ( k ＋ 1) 邊形的對角線的條數(shù)為 12k ( k － 3) ＋ 1 ＋ ( k － 2) ＝12( k2－ 3 k ＋ 2 k － 2) ＝12( k2－ k － 2) ＝12( k ＋ 1) ( k － 2) ＝12( k ＋ 1)[( k ＋ 1) － 3] ， 所以當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時結(jié)論也正確． 由 ① 和 ② 知，結(jié)論對從 n ＝ 3 起的所有自然數(shù)都正確 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 設(shè)數(shù)列 a 1 ， a 2 ， ? a n ， ? 中的每一項都不為 0. 證明： { a n } 為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何 n ∈ N ＋ ，都有1a 1 a 2＋1a 2 a 3＋ ? ＋1a n a n ＋ 1＝na 1 a n ＋ 1. [分析 ] 本題考查等差數(shù)列 、 數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識 ， 考查推理論證 、 運(yùn)算求解能力 ． 解題思路是利用裂項求和法證必要性 ， 再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性 ． [ 證明 ] 先證必要性． 設(shè)數(shù)列 { an} 的公差為 d . 若 d ＝ 0 ，則所述等式顯然成立． 若 d ≠ 0 ，則1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1 ＝1d????????a2－ a1a1a2＋a3－ a2a2a3＋ ? ＋an ＋ 1－ ananan ＋ 1 ＝1d??????????????1a1－1a2＋??????1a2－1a3＋ ? ＋????????1an－1an ＋ 1 ＝1d????????1a1－1an ＋ 1＝1dan ＋ 1－ a1a1an ＋ 1＝na1an ＋ 1. 再證充分性． 證法 1 ： ( 數(shù)學(xué)歸納法 ) 設(shè)所述的等式對一切 n ∈ N ＋ 都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3 兩端同乘以 a1a2a3，即得 a1＋ a3＝ 2 a2，所以 a1， a2， a3成等差數(shù)列，記公差為 d ，則 a2＝ a1＋ d . 假設(shè) ak＝ a1＋ ( k － 1) d ，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時，觀察如下兩個等式 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1ak － 1ak＝k － 1a1ak， ① 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1ak － 1ak＋1akak ＋ 1＝ka1ak ＋ 1② 將 ① 代入 ② ，得k － 1a 1 a k＋1a k a k ＋ 1＝ka 1 a k ＋ 1， 在該式兩端同乘 a 1 a k a k ＋ 1 ，得 ( k － 1) a k ＋ 1 ＋ a 1 ＝ ka k . 將 a k ＝ a 1 ＋ ( k － 1) d 代入其中，整理后，得 a k ＋ 1 ＝ a 1 ＋ kd . 由數(shù)學(xué)歸納法原理知， 對一切 n ∈ N ＋ ，都有 a n ＝ a 1 ＋ ( n －1) d ，所以 { a n } 是公差為 d 的等差數(shù)列． 證法 2 ： ( 直接證法 ) 依題意有 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1＝na1an ＋ 1， ① 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1＋1an ＋ 1an ＋ 2＝n ＋ 1a1an ＋ 2. ② ② － ① 得1an ＋ 1an ＋ 2＝n ＋ 1a1an ＋ 2－na1an ＋ 1， 在上式兩端同乘以 a1an ＋ 1an ＋ 2，得 a1＝ ( n ＋ 1) an ＋ 1－ nan ＋ 2. ③ 同理可得 a1＝ nan－ ( n － 1) an ＋ 1④ ③ － ④ 得 2 nan ＋ 1＝ n ( an ＋ 2＋ an) 即 an ＋ 2－ an ＋ 1＝ an ＋ 1－ an，所以 { an} 是等差數(shù)列．
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