人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章推理與證明-文庫(kù)吧資料
2024-11-25 20:10本頁(yè)面
【正文】 時(shí)，證明對(duì)所有的 n ≥ 1 ，有 a n ≥ n ＋ 1. [ 分析 ] (1) 欲求 a n 的通項(xiàng)公式，從特殊歸納出一般性結(jié)論． (2) 利用數(shù)學(xué)歸納法證明． [ 解析 ] (1) 解：由 a1＝ 2 ，得 a2＝ a21－ a1＋ 1 ＝ 3. 由 a2＝ 3 ，得 a3＝ a22－ 2 a2＋ 1 ＝ 4. 由 a3＝ 4 ，得 a4＝ a23－ 3 a3＋ 1 ＝ 5. 由此猜想 an的一個(gè)通項(xiàng)公式為 an＝ n ＋ 1( n ≥ 1) ． (2) 證明： ① 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， ∵ an＝ a1≥ 2 ， n ＋ 1 ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 ， ∴不等式成立． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k 時(shí)不等式成立，即 ak≥ k ＋ 1. 那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1時(shí)， ak ＋ 1＝ ak( ak－ k ) ＋ 1 ≥ ( k ＋ 1)( k ＋ 1 － k ) ＋ 1 ＝ k ＋ 2. 也就是說(shuō)，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， a k ＋ 1 ( k ＋ 1) ＋ 1. 根據(jù) ① 和 ② ，對(duì)于所有 n ≥ 1 ，有 a n ≥ n ＋ 1. [ 方法總結(jié) ] 本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識(shí)，考查猜想、歸納、推理以及分析問(wèn)題和解決 問(wèn)題的能力． 隨 堂 練 習(xí) 一、選擇題 1 ．下列四個(gè)圖形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前 4 項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 ( ) A ． an＝ 3n － 1 B ． an＝ 3n C ． an＝ 3n－ 2 n D ． an＝ 3n － 1＋ 2 n － 3 [答案 ] A [解析 ] 由題意知 a1＝ 1， a2＝ 3， a3＝ 9， a4＝ 27， 故猜想 an＝ 3n－ A. 2 ．已知 S ( n ) ＝1n＋1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋1n ＋ 3＋ ? ＋1n2 ，則 ( ) A ． S ( n ) 共有 n 項(xiàng)，當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， S (2) ＝12＋13 B ． S ( n ) 共有 n ＋ 1 項(xiàng)，當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， S (2) ＝12＋13＋14 C ． S ( n ) 共有 n2－ n 項(xiàng)，當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， S (2) ＝12＋13＋14 D ． S ( n ) 共有 n2－ n ＋ 1 項(xiàng)，當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， S (2) ＝12＋13＋14 [答案 ] D [解析 ] 從 n到 n2共有 n2－ n＋ 1個(gè)自然數(shù) ， 即 S(n)共有 n2－ n＋ 1項(xiàng) ． 故選 D. 3 ．分析法又叫執(zhí)果索因法，若使用分析法證明：設(shè) a b c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，求證： b2－ ac 3 a 索的因應(yīng)是 ( ) A ． a － b 0 B ． a － c 0 C ． ( a － b )( a － c )0 D ． ( a － b )( a － c )0 [ 答案 ] A [ 解析 ] 因 a b c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，所以 3 c a ＋ b ＋ c a ＋ a＋ a ，即 a 0 ， c 0. 要證 b2－ ac 3 a ， 只需證 b2－ ac 3 a2，只需證 ( a ＋ c )2－ ac 3 a2，只需證 2 a2－ ac － c20 ，只需證 ( a － c )(2 a ＋ c )0 ，只需證 2 a ＋ c 0(
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