新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法3課時(shí)-文庫(kù)吧資料
2024-12-01 01:09本頁(yè)面
【正文】 ? ? ? ? ? ?. ③ 出示例 2： 設(shè) an ＝ 12 + 23 +? + ( 1)nn? (n∈ N*)，求證： an 12 (n＋ 1)2 . 關(guān)鍵： a 1k? 12 (k＋ 1)2 + ( 1)( 2)kk??＝ 12 (k+1)2 + 2 32kk??12 (k+1)2 +(k+32 )＝ 12 (k+2)2 小結(jié)：放縮法，對(duì) 比目標(biāo)發(fā)現(xiàn)放縮途徑 . 變式：求證 an 12 n(n＋ 1) 3. 小結(jié)： 書寫時(shí)必須明確寫出兩個(gè)步驟與一個(gè)結(jié)論，注意“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”；從 n=k到 n=k+1時(shí)，變形方法有乘 法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等 . 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材 108 練習(xí) 2題 2. 作業(yè)：教材 108 B組 3題 . 第二課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法（二） 教學(xué)要求 ：了解 數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的格式書寫 . 教學(xué)重點(diǎn) ：能 用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 . 教學(xué)難點(diǎn) ：經(jīng)歷試值、猜想、歸納、證明的過(guò)程來(lái)解決問(wèn)題 . 教學(xué)過(guò)程 ： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ： 1. 練習(xí)：已知 ? ? *( ) 1 3 5 2 1 ,f n n n N? ? ? ? ? ? ?，猜想 ()fn 的表達(dá)式，并給出證明？ 過(guò)程：試值 (1) 1f ? ， (2) 4f ? ， ? ，→ 猜想 2()f n n? → 用數(shù)學(xué)歸納法證明 . 2. 提問(wèn)：數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟？ 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題 ① 出示例 1：已知數(shù)列 1 1 1 1, , , ,2 5 5 8 8 1 1 ( 3 1 ) ( 3 2 )nn???? ? ? ? ? ?，猜想 nS 的表達(dá)式，并證明 . 分析：如何進(jìn)行猜想？（試值 1 2 3 4, , ,S S S S →猜想 nS ） → 學(xué)生練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明 → 討論：如何直接求此題的 nS ？ （裂項(xiàng)相消法） 小結(jié)：探索性問(wèn)題的解決過(guò)程（試值→猜想、歸納→證明） ② 練 習(xí) ： 是 否 存 在 常 數(shù) a 、 b 、 c 使 得 等 式1 3 2 4 3 5 ...... ( 2)nn? ? ? ? ? ? ? ? ?21 ()6 n an bn c??對(duì)一切自然數(shù) n都成立，試證明你的結(jié)論 .[ 解題要點(diǎn)：試值 n=1,2,3， → 猜想 a、 b、 c → 數(shù)學(xué)歸納法證明 2. 練習(xí)： ① 已知 0 ( 1, 2, , )ia i n?? ，考察1 11() 1iaa??；12 1211( ) ( )( ) 4ii a a aa? ? ?； 1 2 3 1 2 31 1 1( ) ( )( ) 9iii a a a a a a? ? ? ? ?之后，歸納出對(duì) 12, , , na a a 也成立的類似不等式，并證明你的結(jié)論 . ② （ 89 年全國(guó)理科高考題）是否存在常數(shù) a、 b、 c，使得等式 （ 答案：a=3,b=11,c=10） 1 2 2 2 2( 1 )2 2 3 . . . . . ( 1 ) ( )12nnn n a n b n c?? ? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)一切自然數(shù) n都成立？并證明你的結(jié)論 3. 小結(jié)： 探索性 問(wèn)題的解決模式為 “一試驗(yàn)→二歸納→三猜想→四證明” . 三、鞏固練習(xí)： 1. 平面內(nèi)有 n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任何三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這 n 個(gè)圓將平面 分成 f(n)=n2－ n+2個(gè)部分 . 2. 是否存在正整數(shù) m，使得 f（ n） =（ 2n+7） 小結(jié)及作業(yè) 小結(jié)由學(xué)生完成，不到的地方老師加以糾正和補(bǔ)充，并強(qiáng)調(diào) 遞推思想是數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì) 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩步缺一不可，兩 者緊密結(jié)合，完成從有限到無(wú)限的遞推過(guò)程 第二步中必須用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。同時(shí)，對(duì)兩步在證題中的地位和作用作再一次的分析，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到兩步中 每一步都缺一不可，為此老師還特意安排習(xí)題加以驗(yàn)證。接著老師提出幾個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考，如數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍是什么？其本質(zhì)是什么？?jī)刹街心囊徊阶钅苷f(shuō)明其本質(zhì)等等，并給予學(xué)生一定的時(shí)間思考討論，之后老師和學(xué)生加以小結(jié)：（ 1）數(shù)學(xué)歸納 法主要用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其核心是遞推思想，就是用有限的步驟替代無(wú)限的遞推過(guò)程；（ 2）第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題的正確性能否遞推下去的保證，它體現(xiàn)的就是遞推思想；（ 3）初始值不一定是 n=1，要根據(jù)實(shí)際情況而定，如改成 n= n0則更具一般性。這樣，通過(guò)游戲展示 尋求“多米諾骨牌”條件 “ 多米諾骨牌”游戲與數(shù)列類比 聯(lián)想類推 理論建構(gòu)，層層深入，逐步推進(jìn)，起到了一石二鳥的作用：一是學(xué)生通過(guò)自己的努力從具體問(wèn)題中抽象出了數(shù)學(xué)歸納法，二是有” 多米諾骨牌”游戲這一直觀參照物，分解了數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)上的難點(diǎn)。在老師 的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論，不難發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列和” 多米諾骨牌”游戲這兩類事物的相關(guān)“元素”之間可以建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 1 張骨牌 數(shù)列中相應(yīng)的一項(xiàng)； 1 張骨牌倒下 數(shù)列中相應(yīng)的 1 個(gè)命題成立 根據(jù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步得到等差數(shù)列公式恒成立必須具備的兩個(gè)條件： （ 1） 當(dāng) n=1 時(shí)，命題成立； （ 2） 假設(shè) n=k 時(shí)命題成立，則當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立。”鑒于學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，老師適當(dāng)予以點(diǎn)撥，學(xué)生在經(jīng)過(guò)思考和討論便會(huì)發(fā)現(xiàn)： 第一， 一列骨牌是一列，一列數(shù)也是一列，它們都 是一個(gè)系列； 第二， 有一張牌，就有數(shù)列中一個(gè)相應(yīng)的項(xiàng)； 第三， 不同的牌，數(shù)列中就有不同的項(xiàng)。 老師再問(wèn)：“條件 1和條件 2各具有什么樣的作用呢？ ” 學(xué)生經(jīng)過(guò)思考討論不難發(fā)現(xiàn)，條件 1 是前提，是基礎(chǔ)，條件 2是遞推，兩者結(jié)合起來(lái)就能保證所有牌被推倒。有的會(huì)說(shuō)“如果沒(méi)有一張骨牌被推倒，那‘假若’還有什 么意義呢？” 有的會(huì)說(shuō)“只要有一張骨牌被推倒，則該張骨牌后所有的骨牌都會(huì)被推倒。然后直接指出，同樣用歸納推理得到的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和自然數(shù)的前 n 項(xiàng)平
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