人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法-資料下載頁(yè)
2024-11-17 20:10本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】為佳作，構(gòu)思巧妙，筆墨經(jīng)濟(jì)，以少勝多！這第三張畫(huà)稿只畫(huà)了一匹半馬，為何能勝過(guò)一群馬呢？知道其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理嗎？么在推倒第一塊骨牌后，會(huì)出現(xiàn)怎樣的情形？2．什么叫歸納法？2．由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，題成立；在假設(shè)n＝k時(shí)命題成立的前提下，取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立。n＝k＋1時(shí)成立是利用假設(shè)n＝k時(shí)成立，根。＋cosα＋cos3α＋?[解析]令n＝1，左式＝12＋cosα.故選B.＝k時(shí)的項(xiàng)從n＝k＋1時(shí)的項(xiàng)中“硬提出來(lái)”，構(gòu)成n＝k的項(xiàng)，是定義在N＋(或它的有限子集{1,2,3，?，n})上的函數(shù)，這與。性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，沒(méi)有固定的格式，靈活應(yīng)用題目中的已知條件，充分考慮“假設(shè)”這一步的應(yīng)用，①已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和；題成立的參數(shù)值是否存在；)，猜想并證明對(duì)任意
【正文】 ③ 同理可得 a1＝ nan－ ( n － 1) an ＋ 1④ ③ － ④ 得 2 nan ＋ 1＝ n ( an ＋ 2＋ an) 即 an ＋ 2－ an ＋ 1＝ an ＋ 1－ an，所以 { an} 是等差數(shù)列． 某數(shù)列的第一項(xiàng)為 1 ，并且對(duì)所有的自然數(shù) n ≥ 2 ，數(shù)列的前 n 項(xiàng)之積為 n2. (1) 寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)； (2) 寫(xiě)出這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式，并加以證明． [ 解析 ] (1) 已知 a 1 ＝ 1 ，由題意得 a 1 a 2 ＝ 22， ∴ a 2 ＝ 22， ∵ a 1 a 2 a 3 ＝ 32， ∴ a 3 ＝3222 . 同理可得 a 4 ＝4232 ， a 5 ＝5242 . 因此這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)為 1,4 ，94，169，2516. (2) 觀察這個(gè)數(shù)的前五項(xiàng)，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為： an＝????? 1 ? n ＝ 1 ?n2? n － 1 ?2 ? n ≥ 2 ?， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝n2? n － 1 ?2 . ① 當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， a2＝22? 2 － 1 ?2 ＝ 22， 所以等式成立． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ≥ 2 ， k ∈ N ＋ ) 時(shí)，結(jié)論成立， 即 ak＝k2? k － 1 ?2 ， 則當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， ∵ a1 a2 ? ak － 1＝ ( k － 1)2， a1 a2 ? ak ＋ 1＝ ( k ＋ 1)2. ∴ ak ＋ 1＝? k ＋ 1 ?2? a1 a2 ? ak － 1? ak＝? k ＋ 1 ?2? k － 1 ?2? k － 1 ?2[ ? k ＋ 1 ? － 1]2＝? k ＋ 1 ?2[ ? k ＋ 1 ? － 1]2. 所以當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，結(jié)論也成立． 根據(jù) ①② 可知，當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式是 an＝n2? n － 1 ?2， ∴ an＝????? 1 ? n ＝ 1 ?n2? n － 1 ?2 ? n ≥ 2 ?. 證明：12 ＋12 2 ＋12 3 ＋ ? ＋12 n － 1＋12 n ＝ 1 －12 n ( 其中 n∈ N ＋ ) ． [ 錯(cuò)解 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝ 12 ，右邊＝ 1 －12 ＝12 ，等式成立． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，等式成立，即12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k ＝ 1 －12k ，那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k＋12k ＋ 1 ＝12 ??????1 －??????12k ＋ 11 －12＝ 1 －12k ＋ 1 . 這就是說(shuō)，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立．根據(jù) (1) 和 (2) ， 可知等式對(duì)任何 n ∈ N ＋ 都成立． [ 辨析 ] 從形式上看，會(huì)認(rèn)為以上的證明是正確的，過(guò)程甚至是完整無(wú)缺的，但實(shí)際上以上的證明卻是錯(cuò)誤的． 錯(cuò)誤的原因在第 (2) 步，它是直接利用等比數(shù)列的求和公式求出了當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，式子12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k ＋12k ＋ 1 的和，而沒(méi)有利用 “ 歸納假設(shè) ” ，這是在用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)極易犯的一種錯(cuò)誤，要引以為戒，初學(xué)者一定要引起足夠的重視． [ 正解 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝12，右邊＝ 1 －12＝12，等式成立． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，等式成立，即12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1＋12k ＝ 1 －12k ，那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1＋12k＋12k ＋ 1＝ 1 －12k ＋12k ＋ 1＝ 1 －2 － 12k ＋ 1＝ 1 －12k ＋ 1. 這就是說(shuō)，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立．根據(jù) (1) 和 (2) ，可知等式對(duì)任何 n ∈ N ＋ 都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n－ 1n2( n ∈N ＋ ) 時(shí)，由 n ＝ k 遞推到 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù) 是 ______ ，增加的式子是 __________________ ． [ 錯(cuò)解 ] 當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1；當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1＋12k ＋ 1－ 1. 所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)是 1 項(xiàng)，增加的式子是12k ＋ 1－ 1. [ 辨析 ] 仔細(xì)觀察 n ＝ k 變?yōu)?n ＝ k ＋ 1 時(shí)有何變化，需認(rèn)真觀察式子的特點(diǎn)，特別注意第 n 項(xiàng)并非它的通項(xiàng)．因分母是連續(xù)增大的正整數(shù)，所以12k－ 1的后面一項(xiàng)為12k ，接著的項(xiàng)為12k＋ 1，12k＋ 2，12k＋ 3， ? ，12k ＋ 1－ 1，即 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ?＋12k－ 1＋12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，所以增加的式子為12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，因?yàn)?2k ＋ 1－ 1＝12 2k－ 1＝12k＋ ? 2k－ 1 ?，所以增加的項(xiàng)數(shù)為 2k項(xiàng)． [ 正解 ] 2 k 12 k ＋ 12 k ＋ 1 ＋ ? ＋ 12 k ＋ 1 － 1 數(shù)學(xué)歸納法????? 數(shù)學(xué)歸納法定義 ? 了 解 ?數(shù)學(xué)歸納法證明步驟 ? 掌握 ?數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 ? 掌握 ?
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