人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23《數(shù)學(xué)歸納法》(文件)
【正文】 ， 考查推理論證 、 運(yùn)算求解能力 ． 解題思路是利用裂項求和法證必要性 ， 再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性 ． [ 證明 ] 先證必要性． 設(shè)數(shù)列 { an} 的公差為 d . 若 d ＝ 0 ，則所述等式顯然成立． 若 d ≠ 0 ，則1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1 ＝1d????????a2－ a1a1a2＋a3－ a2a2a3＋ ? ＋an ＋ 1－ ananan ＋ 1 ＝1d??????????????1a1－1a2＋??????1a2－1a3＋ ? ＋????????1an－1an ＋ 1 ＝1d????????1a1－1an ＋ 1＝1dan ＋ 1－ a1a1an ＋ 1＝na1an ＋ 1. 再證充分性． 證法 1 ： ( 數(shù)學(xué)歸納法 ) 設(shè)所述的等式對一切 n ∈ N ＋ 都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3 兩端同乘以 a1a2a3，即得 a1＋ a3＝ 2 a2，所以 a1， a2， a3成等差數(shù)列，記公差為 d ，則 a2＝ a1＋ d . 假設(shè) ak＝ a1＋ ( k － 1) d ，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時，觀察如下兩個等式 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1ak － 1ak＝k － 1a1ak， ① 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1ak － 1ak＋1akak ＋ 1＝ka1ak ＋ 1② 將 ① 代入 ② ，得k － 1a 1 a k＋1a k a k ＋ 1＝ka 1 a k ＋ 1， 在該式兩端同乘 a 1 a k a k ＋ 1 ，得 ( k － 1) a k ＋ 1 ＋ a 1 ＝ ka k . 將 a k ＝ a 1 ＋ ( k － 1) d 代入其中，整理后，得 a k ＋ 1 ＝ a 1 ＋ kd . 由數(shù)學(xué)歸納法原理知， 對一切 n ∈ N ＋ ，都有 a n ＝ a 1 ＋ ( n －1) d ，所以 { a n } 是公差為 d 的等差數(shù)列． 證法 2 ： ( 直接證法 ) 依題意有 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1＝na1an ＋ 1， ① 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1＋1an ＋ 1an ＋ 2＝n ＋ 1a1an ＋ 2. ② ② － ① 得1an ＋ 1an ＋ 2＝n ＋ 1a1an ＋ 2－na1an ＋ 1， 在上式兩端同乘以 a1an ＋ 1an ＋ 2，得 a1＝ ( n ＋ 1) an ＋ 1－ nan ＋ 2. ③ 同理可得 a1＝ nan－ ( n － 1) an ＋ 1④ ③ － ④ 得 2 nan ＋ 1＝ n ( an ＋ 2＋ an) 即 an ＋ 2－ an ＋ 1＝ an ＋ 1－ an，所以 { an} 是等差數(shù)列． 某數(shù)列的第一項為 1 ，并且對所有的自然數(shù) n ≥ 2 ，數(shù)列的前 n 項之積為 n2. (1) 寫出這個數(shù)列的前五項； (2) 寫出這個數(shù)的通項公式，并加以證明． [ 解析 ] (1) 已知 a 1 ＝ 1 ，由題意得 a 1 (2 k ＋ 3) 7n－ 1. (1) f (1) ＝ (3 1 ＋ 1) 7k－ 1 能被 9 整除，又因為 18 k 7k ＝ [(3 k ＋ 1) 7k ＝ [(3 k ＋ 1) 7 7 k － 1 能被 9 整除來推證 (3 k ＋ 4) 知原不等式在 n ≥ 2 ， n ∈ N*時均成立． [ 方法總結(jié) ] 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過放大或縮小技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式． 本例中用1? k ＋ 1 ?2 1k ? k ＋ 1 ?放縮是關(guān)鍵一步，有時也常用1k21k ? k ＋ 1 ?放縮． 求證： 1 ＋ n2 ≤ 1 ＋ 12 ＋ 13 ＋ ? ＋ 12 n ≤ 12 ＋ n ( n ∈ N * ) ． [ 證明 ] 設(shè) f ( n ) ＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n . (1) 當(dāng) n ＝ 1 時， f (1) ＝ 1 ＋12，原不等式成立． (2) 設(shè) n ＝ k ( k ∈ N*) 時，原不等式成立． 即 1 ＋k2≤ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k ≤12＋ k 成立 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時， f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 ≥ 1 ＋k2＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 1 ＋k2＋12k ＋ 1 ＋12k ＋ 1 ＋ ? ＋12k ＋ 1 ＝ 1 ＋k2＋12＝ 1 ＋k ＋ 12 f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 ≤12＋ k ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 12＋ k ＋12k ＋12k ＋ ? ＋12k ＝12＋ ( k ＋ 1) ∴ n ＝ k ＋ 1 時，命題成立． 綜合 (1) 、 (2) 可得：原命題對 n ∈ N*恒成立 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 用數(shù)學(xué) 歸納法證明 (3 n ＋ 1) [1 －4? 2 k ＋ 1 ?2 ] ＝2 ? k ＋ 1 ? ＋ 11 － 2 ? k ＋ 1 ?， 也就是說 n ＝ k ＋ 1 時，等式也成立． 由 (1) (2) 可知，等式對任
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