北師大版選修2-2高考數(shù)學(xué)14數(shù)學(xué)歸納法-wenkub
2022-11-29 00:49:50 本頁面
【正文】 12?? ( 其中n ∈ N + ) . 思路分析 :左邊是一個(gè)等比數(shù)列 12?? 的前 n 項(xiàng)和 ,可用求和公式 ,這里考慮用數(shù)學(xué)歸納法 . 探究一 探究二 探究三 探究四 證明 : ( 1 ) 當(dāng) n= 1 時(shí) ,左邊 =12,右邊 = 1 12=12,等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k ( k ≥ 1, k ∈ N+) 時(shí) ,等式成立 ,即12+122+123+ … +12?? 1+12??= 1 12??. 那么當(dāng) n = k+ 1 時(shí) , 左邊 =12+122+123+ … +12?? 1+12??+12?? + 1= 1 12??+12?? + 1= 1 2 12?? + 1= 1 12?? + 1= 右邊 . 所以當(dāng) n = k+ 1 時(shí) ,等式成立 . 根據(jù) ( 1 ) 和 ( 2 ) ,可知等式對(duì)任意 n ∈ N+都成立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí) ,往往通過拼湊項(xiàng)或拆項(xiàng)用上歸納假設(shè) ,再應(yīng)用放縮法或其他證明不等式的方法 ( 比較 法、綜合法、分析法等 ) 證得當(dāng) n = k+ 1 時(shí)命題成立 . 典例提升 2 求證 : 當(dāng) n ∈ N+, n ≥ 2 時(shí) ,1?? + 1+1?? + 2+ ? +12 ??1324. 思路分析 :本題為與正整數(shù) n 有關(guān)的不等式 ,可結(jié)合不等式的性質(zhì)加以變形 . 探究一 探究二 探究三 探究四 證明 : ( 1 ) 當(dāng) n= 2 時(shí) ,12 + 1+12 + 2=712=14241324,不等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k ( k ≥ 2) 時(shí)不等式成立 , 即1?? + 1+1?? + 2+ … +12 ??1324. 那么當(dāng) n = k+ 1 時(shí) , 1?? + 2+1?? + 3+ … +12 ??+12 ?? + 1+12 ?? + 2 =1?? + 1+1?? + 2+ … +12 ??+12 ?? + 1+12 ?? + 2?1?? + 1 = 1?? + 1+1?? + 2+ ? +12 ?? +12 ?? + 1?12 ?? + 21324+1( 2 ?? + 1 )( 2 ?? + 2 )1324. ∴ 當(dāng) n = k+ 1 時(shí) ,不等式成立 . 由 ( 1 ) ( 2 ) 知 ,當(dāng) n ∈ N+, n ≥ 2 時(shí)不等式成立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí) ,關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)證明當(dāng) n = k+ 1 時(shí)的步驟 ,要證好這一步 ,須明確以下兩點(diǎn) :一是要證明的結(jié)論 ,二是當(dāng) n = k+ 1 時(shí)命題與歸納假設(shè)的區(qū)別 ( 即當(dāng) n = k+ 1 時(shí)比當(dāng) n = k 時(shí)增加了哪些項(xiàng) ) .明確了這兩點(diǎn)也就明確了這一步的證明方向 . ?? 變式訓(xùn)練 2 ?? 已知 n 2( n ∈ N+), 求證 :1 +1 2+1 3+ ? +1 ?? ?? + 1 . 證明 : ( 1 ) 當(dāng) n= 3 時(shí) ,左邊 = 1 +1 2+1 3,右邊 = 3 + 1 = 2, 左邊 右邊 ,不等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k ( k ∈ N+,且 k ≥ 3) 時(shí) ,不等式成立 , 即 1 +1 2+1 3+ … +1 ?? ?? + 1 . 那么當(dāng) n = k+ 1 時(shí) ,1 +1 2+1 3+ … +1 ??+1 ?? + 1 ?? + 1 +1 ?? + 1=?? + 1 + 1 ?? + 1=?? + 2 ?? + 1. 因?yàn)?? + 2 ?? + 1?? + 2 ?? + 2= ?? + 2 = ( ?? + 1 ) + 1 , 所以 1 +1 2+1 3+ … +1 ??+1 ?? + 1 ( ?? + 1 ) + 1 , 所以當(dāng) n = k+ 1 時(shí) ,不等式成立
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1