北師大版選修2-2高考數(shù)學(xué)32導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用-wenkub
2022-11-29 00:49:47 本頁(yè)面
【正文】 小的一個(gè)重要指標(biāo) . 1 2 2 .最大值、最小值問(wèn)題 函數(shù) y= f ( x ) 在區(qū)間 [ a , b ] 上的最大值點(diǎn) x 0 指的是 : 函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值 都不超過(guò) f ( x 0 ) .最大值或者在極大值點(diǎn)取得 , 或者在區(qū)間的端點(diǎn)取得 .因此 , 要想求函數(shù)的最大值 , 應(yīng)首先求出函數(shù)的極大值點(diǎn) , 然后將所有極大值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較 , 其中 最大的值 即為函數(shù)的 最大值 .函數(shù)的最小值點(diǎn)也有類似的意義和求法 .函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值 . 1 2 做一做 在高為 H 、底面半徑為 R 的圓錐內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱 ,問(wèn)圓柱底面半徑r 為多大時(shí) ,圓柱體積最大 ? 解 :設(shè)圓柱底面半徑為 r 、高為 h 、體積為 V , 在圓錐的軸截面 △ ABC 中 ( 如圖所示 ), ∵???? ?=????, ∴ h = H 1 ???? , ∴ V= π r2h= π r2H 1 ???? = π Hr2 π????r3(0 r R ), V 39。= 2 π Hr 3 π????r2.令 V 39。 ( x ) = 0 得到方程的根x 1 , x 2 ,… ,直接求得函數(shù)值 f ( x 1 ), f ( x 2 ), … ,然后去與端點(diǎn)的函數(shù)值比較就可以了 ,省略了判斷極值的過(guò)程 .當(dāng)然導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合 ,也可以求最值 . 探究一 探究二 探究三 典例提升 1 已知函數(shù) f ( x ) =ln ???? x , 求函數(shù) f ( x ) 的最大值 . 解 : ∵ f39。 ( x ) = 0 的唯一解 . ∵ 當(dāng) 0 x 1 時(shí) , f39。 ( x ) = 3 ax2 4 a x= a x (3 x 4) . 令 f39。 文理關(guān) ( 需要把實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言 ,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系 )。 ( x ) = 0, 即2 400( 3 ?? + 5 )2= 6, 解得 x1= 5, x2= 253( 舍去 ), 當(dāng) 0 x 5 時(shí) , f39。a s in θ =a2s in θ (1 + co s θ ) 0 ?? π2 . 所以 S 39。 當(dāng)π3 θ π2時(shí) , S 39。= 0 得 x=194= 4 . 75, ∴ 4 . 75 必為最大值點(diǎn) . ∴ 年產(chǎn)量為 4 7 5 臺(tái)時(shí) ,工廠利潤(rùn)最大 . 錯(cuò)因分析 :實(shí)際問(wèn)題中 ,該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量不可能只在 5 0 0 臺(tái)之內(nèi) ( 含500 臺(tái) ), 應(yīng)有 x 5 的情況 ,忽視此種情況 ,就出現(xiàn)了錯(cuò)誤 . 探究一 探究二 探究三 正 解 : ( 1 ) 利潤(rùn) y= R ( x ) C ( x ) = 5 ?? ??22 ( 0 . 5 + 0 . 25 ?? )( 0 ≤ ?? ≤ 5 ), 5 5 522 ( 0 . 5 + 0 . 25 ?? )( ?? 5 ), = 12??2+ 4 . 75 ?? 0 . 5 ( 0 ≤ ?? ≤ 5 ),12 0 . 25 ?? ( ?? 5 ) . ( 2 ) 0 ≤ x ≤ 5 時(shí) , y= 12x2+ 4 . 75 x 0 . 5, ∴ 當(dāng) x= 4 . 75 時(shí) , ym a x≈ 10 . 78( 萬(wàn)元 )。 0。= 0,
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