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人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章11第3課時導數(shù)的幾何意義(參考版)

2024-11-21 20:06本頁面
  

【正文】 的傾斜角,所以其斜率為- 1 ,即2 x 0 =- 1 ,得 x 0 =-12, y 0 =14, 即 P????????-12,14. [ 方法總結 ] 注意利用解析幾何中有關兩直線平行、垂直的條件. 已知直線 l: y= 4x+ a和曲線 C: y= x3- 2x2+ 3相切. (1)求切點的坐標; (2)求 a的值. [ 解析 ] ( 1 ) 設直線 l與曲線 C 相切于 P ( x 0 , y 0 ) 點. ∵ f′ ( x ) = l i mΔ x → 0 f ? x + Δ x ?- f ? x ?Δ x = l i mΔ x → 0 ? x + Δ x ?3- 2 ? x + Δ x ?2+ 3 - ? x3- 2 x2+ 3 ?Δ x= 3 x2- 4 x , 由題意可知, k = 4 ,即 3 x20 - 4 x 0 = 4 ,解得 x 0 =-23或 x 0 = 2. ∴ 切點的坐標為????????-23,4927或 ( 2 , 3 ) . ( 2 ) 當切點為????????-23,4927時,有4 927= 4 ????????-23+ a , a =1 2 127. 當切點為 ( 2 , 3 ) 時,有 3 = 4 2 + a , a =- 5. ∴ 所求的 a 的值為: ① a =1 2 127,切點為????????-23,4927; ② a =- 5 ,切點為 ( 2 , 3 ) . 導數(shù)的幾何意義的綜合應用 求曲線 y = 1x 和 y = x2 在它們交點處的兩條切線與x 軸所圍成的三角形的面積. [ 分析 ] 由題意知,只要求出兩曲線的交點坐標及切線方程,再結合三角形的面積公式就能求出. [ 解析 ] 聯(lián)立兩曲線方程得????? y =1x,y = x2,解得????? x = 1 ,y = 1 , 即交點坐標為 ( 1 , 1 ) . 曲線 y =1x在點 ( 1 , 1 ) 的切線斜率為 f′ ( 1 ) = l i mΔ x → 0 11 + Δ x-11Δ x= l i mΔ x → 0 - 11 + Δ x=- 1 , 所以曲線 y =1x在點 ( 1 , 1 ) 的一條切線方程為 y - 1 =- ( x - 1) ,即 y =- x + 2. 同理,曲線 y = x2在點 (1 , 1 ) 的切線斜率為 f′ ( 1 ) = l i mΔ x → 0 ? 1 + Δ x ?2- 12Δ x = l i mΔ x → 0 2Δ x + ? Δ x ?2Δ x = l i mΔ x → 0 ( 2 + Δ x ) = 2. 所以曲線 y = x2在點 ( 1 , 1 ) 的切線方程為 y - 1 = 2( x - 1) ,即 y= 2 x - 1. 兩條切線方程 y =- x + 2 和 y = 2 x - 1 與 x 軸所圍成的圖形如圖所示, 所以 S =12 1 (2 -12) =34,故三角形的面積為34. [ 方法總結 ] 本題將曲線的切線與求三角形的面積相聯(lián)系,要作出草圖幫助分析三角形的位置,從而順利解題. 曲線 y= x3在 x0= 0處的切線是否存在 , 若存在 , 求出切線的斜率和切線方程;若不存在 , 請說明理由 . [ 解析 ] 令 y = f ( x ) = x3, Δ y = f (0 + Δ x ) - f ( 0 ) = Δ x3, Δ yΔ x= Δ x2,當 Δ x 無限趨近于 0 時,Δ yΔ x無限趨近于常數(shù) 0 ,這說明割線會無限趨近于一個極限位置,即曲線在 x = 0 處的切線存在,此時切線的斜率為 0(Δ yΔ x無限趨近于 0) ,又曲線過點
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