人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章11第3課時導(dǎo)數(shù)的幾何意義(參考版)
2024-11-21 20:06本頁面
【正文】 的傾斜角，所以其斜率為－ 1 ，即2 x 0 ＝－ 1 ，得 x 0 ＝－12， y 0 ＝14， 即 P????????－12，14. [ 方法總結(jié) ] 注意利用解析幾何中有關(guān)兩直線平行、垂直的條件． 已知直線 l： y＝ 4x＋ a和曲線 C： y＝ x3－ 2x2＋ 3相切． (1)求切點的坐標； (2)求 a的值． [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)直線 l與曲線 C 相切于 P ( x 0 ， y 0 ) 點． ∵ f′ ( x ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x ＋ Δ x ?－ f ? x ?Δ x ＝ l i mΔ x → 0 ? x ＋ Δ x ?3－ 2 ? x ＋ Δ x ?2＋ 3 － ? x3－ 2 x2＋ 3 ?Δ x＝ 3 x2－ 4 x ， 由題意可知， k ＝ 4 ，即 3 x20 － 4 x 0 ＝ 4 ，解得 x 0 ＝－23或 x 0 ＝ 2. ∴ 切點的坐標為????????－23，4927或 ( 2 , 3 ) ． ( 2 ) 當(dāng)切點為????????－23，4927時，有4 927＝ 4 ????????－23＋ a ， a ＝1 2 127. 當(dāng)切點為 ( 2 , 3 ) 時，有 3 ＝ 4 2 ＋ a ， a ＝－ 5. ∴ 所求的 a 的值為： ① a ＝1 2 127，切點為????????－23，4927； ② a ＝－ 5 ，切點為 ( 2 , 3 ) . 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用 求曲線 y ＝ 1x 和 y ＝ x2 在它們交點處的兩條切線與x 軸所圍成的三角形的面積． [ 分析 ] 由題意知，只要求出兩曲線的交點坐標及切線方程，再結(jié)合三角形的面積公式就能求出． [ 解析 ] 聯(lián)立兩曲線方程得????? y ＝1x，y ＝ x2，解得????? x ＝ 1 ，y ＝ 1 ， 即交點坐標為 ( 1 , 1 ) ． 曲線 y ＝1x在點 ( 1 , 1 ) 的切線斜率為 f′ ( 1 ) ＝ l i mΔ x → 0 11 ＋ Δ x－11Δ x＝ l i mΔ x → 0 － 11 ＋ Δ x＝－ 1 ， 所以曲線 y ＝1x在點 ( 1 , 1 ) 的一條切線方程為 y － 1 ＝－ ( x － 1) ，即 y ＝－ x ＋ 2. 同理，曲線 y ＝ x2在點 (1 , 1 ) 的切線斜率為 f′ ( 1 ) ＝ l i mΔ x → 0 ? 1 ＋ Δ x ?2－ 12Δ x ＝ l i mΔ x → 0 2Δ x ＋ ? Δ x ?2Δ x ＝ l i mΔ x → 0 ( 2 ＋ Δ x ) ＝ 2. 所以曲線 y ＝ x2在點 ( 1 , 1 ) 的切線方程為 y － 1 ＝ 2( x － 1) ，即 y＝ 2 x － 1. 兩條切線方程 y ＝－ x ＋ 2 和 y ＝ 2 x － 1 與 x 軸所圍成的圖形如圖所示， 所以 S ＝12 1 (2 －12) ＝34，故三角形的面積為34. [ 方法總結(jié) ] 本題將曲線的切線與求三角形的面積相聯(lián)系，要作出草圖幫助分析三角形的位置，從而順利解題． 曲線 y＝ x3在 x0＝ 0處的切線是否存在 ， 若存在 ， 求出切線的斜率和切線方程；若不存在 ， 請說明理由 ． [ 解析 ] 令 y ＝ f ( x ) ＝ x3， Δ y ＝ f (0 ＋ Δ x ) － f ( 0 ) ＝ Δ x3， Δ yΔ x＝ Δ x2，當(dāng) Δ x 無限趨近于 0 時，Δ yΔ x無限趨近于常數(shù) 0 ，這說明割線會無限趨近于一個極限位置，即曲線在 x ＝ 0 處的切線存在，此時切線的斜率為 0(Δ yΔ x無限趨近于 0) ，又曲線過點
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