人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章13第1課時利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性課時作業(yè)(參考版)
2024-12-07 11:28本頁面
【正文】 天津文， 20)已知函數(shù) f(x)＝ 4x－ x4， x∈ R. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設曲線 y＝ f(x)與 x軸正半軸的交點為 P，曲線在點 P處的切線方程為 y＝ g(x)，求證：對于任意的實數(shù) x，都有 f(x)≤ g(x)． [解析 ] (1)由 f(x)＝ 4x－ x4，可得 f′( x)＝ 4－ 4x3， 當 f′( x)0，即 x1時，函數(shù) f(x)單調(diào) 遞增； 當 f′( x)0，即 x1時，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減． 所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (－ ∞ ， 1)，單調(diào)遞減區(qū)間是 (1，＋ ∞) ． (2)設 P(x0,0)，則 x0＝ 413， f′( x0)＝－ 12，曲線 y＝ f(x)在點 P 處的切線方程為 y＝f′( x0)(x－ x0)，即 g(x)＝ f′( x0)(x－ x0)，令 F(x)＝ f(x)－ g(x)，即 F(x)＝ f(x)－ f′( x)(x－ x0)，則 F′( x)＝ f′( x)－ f′( x0)．由于 f(x)＝ 4－ 4x3在 (－ ∞ ，＋ ∞) 單調(diào)遞減，故 F′( x)在 (－ ∞ ，＋ ∞) 單調(diào)遞減．又因為 F′( x0)＝ 0，所以當 x∈ (－ ∞ ， x0)時， F′( x)0，所以當 x∈ (x0，＋ ∞) 時， F′( x)0. 所以 F(x)在 (－ ∞ ， x0)單調(diào)遞增，在 (x0，＋ ∞) 單調(diào)遞減， 所以對任意的實數(shù) x， F(x)≤ F(x0)＝ 0， 對于任意的正實數(shù) x，都有 f(x)≤ g(x)． 。 f(n)0，故方程 f(x)＝ 0 在區(qū)間 [m， n]上有且只有一個實數(shù)根．故選 C. 2．設函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)可導， y＝ f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù) y＝ f′( x)的圖象可能為 ( ) [答案 ] D [解析 ] 函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)增，則導函數(shù) y＝ f′( x)在區(qū)間 (－ ∞ ，0)上函數(shù)值為正，排除 A、 C，原函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 (0，＋ ∞) 上先增再減，最后再增，其導函數(shù) y＝ f′( x)在區(qū)間 (0，＋ ∞) 上函數(shù)值先正、再負、再正，排除 B，故選 D. 3． (2021 會寧縣校級期中 )已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ bx2(x∈ R)的圖象過點 P(－ 1,2)，且在點 P處的切線恰好與直線 x－ 3y＝ 0垂直． (1)求函數(shù) f(x)的解析式； (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [m， m＋ 1]上單調(diào)遞增，求實數(shù) m的取值范圍． [解析 ] (1)∵ y＝ f(x)過點 P(－ 1,2)，且在點 P處的切線恰好與直線 x－ 3y＝ 0垂直， ∴????? － a＋ b＝ 2
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