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人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章13第1課時利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性課時作業(yè)(參考版)

2024-12-07 11:28本頁面
  

【正文】 天津文, 20)已知函數(shù) f(x)= 4x- x4, x∈ R. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)設曲線 y= f(x)與 x軸正半軸的交點為 P,曲線在點 P處的切線方程為 y= g(x),求證:對于任意的實數(shù) x,都有 f(x)≤ g(x). [解析 ] (1)由 f(x)= 4x- x4,可得 f′( x)= 4- 4x3, 當 f′( x)0,即 x1時,函數(shù) f(x)單調(diào) 遞增; 當 f′( x)0,即 x1時,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減. 所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (- ∞ , 1),單調(diào)遞減區(qū)間是 (1,+ ∞) . (2)設 P(x0,0),則 x0= 413, f′( x0)=- 12,曲線 y= f(x)在點 P 處的切線方程為 y=f′( x0)(x- x0),即 g(x)= f′( x0)(x- x0),令 F(x)= f(x)- g(x),即 F(x)= f(x)- f′( x)(x- x0),則 F′( x)= f′( x)- f′( x0).由于 f(x)= 4- 4x3在 (- ∞ ,+ ∞) 單調(diào)遞減,故 F′( x)在 (- ∞ ,+ ∞) 單調(diào)遞減.又因為 F′( x0)= 0,所以當 x∈ (- ∞ , x0)時, F′( x)0,所以當 x∈ (x0,+ ∞) 時, F′( x)0. 所以 F(x)在 (- ∞ , x0)單調(diào)遞增,在 (x0,+ ∞) 單調(diào)遞減, 所以對任意的實數(shù) x, F(x)≤ F(x0)= 0, 對于任意的正實數(shù) x,都有 f(x)≤ g(x). 。 f(n)0,故方程 f(x)= 0 在區(qū)間 [m, n]上有且只有一個實數(shù)根.故選 C. 2.設函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)可導, y= f(x)的圖象如圖所示,則導函數(shù) y= f′( x)的圖象可能為 ( ) [答案 ] D [解析 ] 函數(shù) y= f(x)在區(qū)間 (- ∞ , 0)上單調(diào)增,則導函數(shù) y= f′( x)在區(qū)間 (- ∞ ,0)上函數(shù)值為正,排除 A、 C,原函數(shù) y= f(x)在區(qū)間 (0,+ ∞) 上先增再減,最后再增,其導函數(shù) y= f′( x)在區(qū)間 (0,+ ∞) 上函數(shù)值先正、再負、再正,排除 B,故選 D. 3. (2021 會寧縣校級期中 )已知函數(shù) f(x)= ax3+ bx2(x∈ R)的圖象過點 P(- 1,2),且在點 P處的切線恰好與直線 x- 3y= 0垂直. (1)求函數(shù) f(x)的解析式; (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [m, m+ 1]上單調(diào)遞增,求實數(shù) m的取值范圍. [解析 ] (1)∵ y= f(x)過點 P(- 1,2),且在點 P處的切線恰好與直線 x- 3y= 0垂直, ∴????? - a+ b= 2
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