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人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性課時(shí)作業(yè)(參考版)

2024-12-07 11:28本頁(yè)面
  

【正文】 天津文, 20)已知函數(shù) f(x)= 4x- x4, x∈ R. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)設(shè)曲線 y= f(x)與 x軸正半軸的交點(diǎn)為 P,曲線在點(diǎn) P處的切線方程為 y= g(x),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x,都有 f(x)≤ g(x). [解析 ] (1)由 f(x)= 4x- x4,可得 f′( x)= 4- 4x3, 當(dāng) f′( x)0,即 x1時(shí),函數(shù) f(x)單調(diào) 遞增; 當(dāng) f′( x)0,即 x1時(shí),函數(shù) f(x)單調(diào)遞減. 所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (- ∞ , 1),單調(diào)遞減區(qū)間是 (1,+ ∞) . (2)設(shè) P(x0,0),則 x0= 413, f′( x0)=- 12,曲線 y= f(x)在點(diǎn) P 處的切線方程為 y=f′( x0)(x- x0),即 g(x)= f′( x0)(x- x0),令 F(x)= f(x)- g(x),即 F(x)= f(x)- f′( x)(x- x0),則 F′( x)= f′( x)- f′( x0).由于 f(x)= 4- 4x3在 (- ∞ ,+ ∞) 單調(diào)遞減,故 F′( x)在 (- ∞ ,+ ∞) 單調(diào)遞減.又因?yàn)?F′( x0)= 0,所以當(dāng) x∈ (- ∞ , x0)時(shí), F′( x)0,所以當(dāng) x∈ (x0,+ ∞) 時(shí), F′( x)0. 所以 F(x)在 (- ∞ , x0)單調(diào)遞增,在 (x0,+ ∞) 單調(diào)遞減, 所以對(duì)任意的實(shí)數(shù) x, F(x)≤ F(x0)= 0, 對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) x,都有 f(x)≤ g(x). 。 f(n)0,故方程 f(x)= 0 在區(qū)間 [m, n]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.故選 C. 2.設(shè)函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo), y= f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù) y= f′( x)的圖象可能為 ( ) [答案 ] D [解析 ] 函數(shù) y= f(x)在區(qū)間 (- ∞ , 0)上單調(diào)增,則導(dǎo)函數(shù) y= f′( x)在區(qū)間 (- ∞ ,0)上函數(shù)值為正,排除 A、 C,原函數(shù) y= f(x)在區(qū)間 (0,+ ∞) 上先增再減,最后再增,其導(dǎo)函數(shù) y= f′( x)在區(qū)間 (0,+ ∞) 上函數(shù)值先正、再負(fù)、再正,排除 B,故選 D. 3. (2021 會(huì)寧縣校級(jí)期中 )已知函數(shù) f(x)= ax3+ bx2(x∈ R)的圖象過(guò)點(diǎn) P(- 1,2),且在點(diǎn) P處的切線恰好與直線 x- 3y= 0垂直. (1)求函數(shù) f(x)的解析式; (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [m, m+ 1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù) m的取值范圍. [解析 ] (1)∵ y= f(x)過(guò)點(diǎn) P(- 1,2),且在點(diǎn) P處的切線恰好與直線 x- 3y= 0垂直, ∴????? - a+ b= 2
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