人教b版高中數學選修2-2第1章13第1課時利用導數判斷函數的單調性-文庫吧資料
2024-11-25 20:10本頁面
【正文】 2 ? ≥ 0 ，即????? 4 a ＋ 8 ≥ 0 ，8 － 4 a ≥ 0.∴ － 2 ≤ a ≤ 2. ∴ a 的取值范圍為 [ － 2 , 2 ] ． ( 方法二 ) 要使 f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 2] 和 [2 ，＋ ∞ ) 上都是遞增的，只需 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 2 ax － 4 ≥ 0 在 ( － ∞ ，－ 2] 和 [2 ，＋ ∞ ) 上恒成立即可． ( 1 ) 若 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 2 ax － 4 ≥ 0 在 [2 ，＋ ∞ ) 上恒成立，即2 a ≤3 x2－ 4x在 [2 ，＋ ∞ ) 上恒成立，只需 2 a ≤ (3 x2－ 4x)m i n. 令 y ＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x，則 y ′ ＝ 3 ＋4x2 0 ，則 y ＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x在 [2 ，＋ ∞ ) 上為增函數， ym in＝ 4. 從而 a ≤ 2. ( 2 ) 若 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 2 ax － 4 ≥ 0 在 ( － ∞ ，－ 2] 上恒成立，即2 a ≥3 x2－ 4x在 ( － ∞ ，－ 2] 上恒成立，只需 2 a ≥ (3 x2－ 4x)m ax. 令 y＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x，則 y ′ ＝ 3 ＋4x2 0 ，則 y ＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x在 ( －∞ ，－ 2] 上為增函數， ∴ ym ax＝－ 4. 從而 a ≥ － 2. 綜上， a 的取值范圍為 [ － 2 , 2 ] ． [ 方法總結 ] 利用導數與單調性的關系，求參數值 ( 或取值范圍 ) 首先，將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取 “ ＝ ” 時是否滿足題意． 恒成立問題的重要思路： ( 1 ) m ≥ f ( x ) 恒成立 ? m ≥ f ( x )m ax. ( 2 ) m ≤ f ( x ) 恒成立 ? m ≤ f ( x )m in. 已知函數 f(x)＝ 2ax－ x3， x∈ (0,1]， a0， 若 f(x)在 (0,1]上是增函數 ， 求 a的取值范圍 ． [ 解析 ] ∵ f ′ ( x ) ＝ 2 a － 3 x2≥ 0 在 ( 0 , 1 ] 上恒成立， ∴ 2 a ≥ 3 x2，即 a ≥32x2，在 ( 0 , 1 ] 上恒成立． 又 x ∈ ( 0 , 1 ] ， ∴32x2∈????????0 ，32，即 a ≥32. ∴ a 的取值范圍為????????32，＋ ∞ . 若函數 f ( x ) ＝ x 3 ＋ x 2 ＋ mx ＋ 1 是 R 上的單調函數，求實數 x 的取值范圍． [ 錯解 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 x ＋ m . 由于 f ( x ) 是 R 上的單調函數，所以 f ′ ( x ) 0 恒成立或 f ′ ( x ) 0恒成立． 由于 3 0 ，所以只能有 f ′ ( x ) 0 恒成立． 因此 Δ ＝ 4 － 12 m 0 ，故 m 13. 所以 m 的取值范圍是 (13，＋ ∞ ) ． [辨析 ] 參數在函數解析式中 ， 可轉化為不等式恒成立問題 ． 一般地 ， 函數 f(x)在區(qū)間 Ⅰ 上單調遞增 (遞減 )；等價于不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間 Ⅰ 上恒成立 ， 然后可借助分離參數等方法求出參數的取值范圍 ． [ 正解 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2
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