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人教b版高中數學選修2-2第1章13第1課時利用導數判斷函數的單調性-文庫吧資料

2024-11-25 20:10本頁面
  

【正文】 2 ? ≥ 0 ,即????? 4 a + 8 ≥ 0 ,8 - 4 a ≥ 0.∴ - 2 ≤ a ≤ 2. ∴ a 的取值范圍為 [ - 2 , 2 ] . ( 方法二 ) 要使 f ( x ) 在 ( - ∞ ,- 2] 和 [2 ,+ ∞ ) 上都是遞增的,只需 f ′ ( x ) = 3 x2- 2 ax - 4 ≥ 0 在 ( - ∞ ,- 2] 和 [2 ,+ ∞ ) 上恒成立即可. ( 1 ) 若 f ′ ( x ) = 3 x2- 2 ax - 4 ≥ 0 在 [2 ,+ ∞ ) 上恒成立,即2 a ≤3 x2- 4x在 [2 ,+ ∞ ) 上恒成立,只需 2 a ≤ (3 x2- 4x)m i n. 令 y =3 x2- 4x= 3 x -4x,則 y ′ = 3 +4x2 0 ,則 y =3 x2- 4x= 3 x -4x在 [2 ,+ ∞ ) 上為增函數, ym in= 4. 從而 a ≤ 2. ( 2 ) 若 f ′ ( x ) = 3 x2- 2 ax - 4 ≥ 0 在 ( - ∞ ,- 2] 上恒成立,即2 a ≥3 x2- 4x在 ( - ∞ ,- 2] 上恒成立,只需 2 a ≥ (3 x2- 4x)m ax. 令 y=3 x2- 4x= 3 x -4x,則 y ′ = 3 +4x2 0 ,則 y =3 x2- 4x= 3 x -4x在 ( -∞ ,- 2] 上為增函數, ∴ ym ax=- 4. 從而 a ≥ - 2. 綜上, a 的取值范圍為 [ - 2 , 2 ] . [ 方法總結 ] 利用導數與單調性的關系,求參數值 ( 或取值范圍 ) 首先,將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立,利用分離參數或函數性質求解參數范圍,然后檢驗參數取 “ = ” 時是否滿足題意. 恒成立問題的重要思路: ( 1 ) m ≥ f ( x ) 恒成立 ? m ≥ f ( x )m ax. ( 2 ) m ≤ f ( x ) 恒成立 ? m ≤ f ( x )m in. 已知函數 f(x)= 2ax- x3, x∈ (0,1], a0, 若 f(x)在 (0,1]上是增函數 , 求 a的取值范圍 . [ 解析 ] ∵ f ′ ( x ) = 2 a - 3 x2≥ 0 在 ( 0 , 1 ] 上恒成立, ∴ 2 a ≥ 3 x2,即 a ≥32x2,在 ( 0 , 1 ] 上恒成立. 又 x ∈ ( 0 , 1 ] , ∴32x2∈????????0 ,32,即 a ≥32. ∴ a 的取值范圍為????????32,+ ∞ . 若函數 f ( x ) = x 3 + x 2 + mx + 1 是 R 上的單調函數,求實數 x 的取值范圍. [ 錯解 ] f ′ ( x ) = 3 x2+ 2 x + m . 由于 f ( x ) 是 R 上的單調函數,所以 f ′ ( x ) 0 恒成立或 f ′ ( x ) 0恒成立. 由于 3 0 ,所以只能有 f ′ ( x ) 0 恒成立. 因此 Δ = 4 - 12 m 0 ,故 m 13. 所以 m 的取值范圍是 (13,+ ∞ ) . [辨析 ] 參數在函數解析式中 , 可轉化為不等式恒成立問題 . 一般地 , 函數 f(x)在區(qū)間 Ⅰ 上單調遞增 (遞減 );等價于不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間 Ⅰ 上恒成立 , 然后可借助分離參數等方法求出參數的取值范圍 . [ 正解 ] f ′ ( x ) = 3 x2
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