人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性-wenkub.com
2024-11-13 20:10 本頁面
【正文】 1 ， 列表如下： x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1 , 0 ) 0 ( 0 , 1 ) 1 (1 ，＋ ∞ ) y ′ － ＋ － ＋ y 故單調(diào)減區(qū)間為 ( － ∞ ，－ 1] 和 [ 0 , 1 ] ． 三、用導(dǎo)數(shù)證明不等式 若證明不等式 f ( x ) g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以轉(zhuǎn)化為證明 f ( x ) －g ( x ) 0 . 若 [ f ( x ) － g ( x )] ′ 0 ，則說明函數(shù) F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 在區(qū)間( a ， b ) 上是增函數(shù)；若 f ( a ) － g ( a ) ≥ 0 ，即 F ( a ) ≥ o ，則由增函數(shù)的定義可知，當(dāng) x ∈ ( a ， b ) 時(shí)， f ( x ) － g ( x ) 0 ，即 f ( x ) g ( x ) ．簡言之，若證明不等式成立，可采用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明，而導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間有著密切的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)證明不等式． 已知： x1， 求證： xln(1＋ x)． [ 證明 ] 令 f ( x ) ＝ x － l n ( 1 ＋ x )( x 1 ) ， 則 f ′ ( x ) ＝ 1 －11 ＋ x＝x1 ＋ x. ∵ x 1 ， ∴ f ′ ( x ) 0 ， ∴ f ( x ) 在區(qū)間 (1 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增． 又 ∵ f ( 1 ) ＝ 1 － l n 2 0 ，即 f ( 1 ) 0 ， ∴ 當(dāng) x 1 時(shí)， f ( x ) 0 ，即 x l n ( 1 ＋ x ) ． 四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系 函數(shù)圖象的單調(diào)性可以通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來分析判斷，即符號為正，圖象上升，符號為負(fù)，圖象下降，看導(dǎo)數(shù) 圖象時(shí)，主要是看圖象在 x 軸上方還是下方，即關(guān)心導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，而不是其單調(diào)性．解決問題時(shí)，一定要分清是函數(shù)圖象還是其導(dǎo)函數(shù)圖象． f ′ ( x ) 是函數(shù) f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)， y ＝ f ′ ( x ) 的圖象如圖，則 y ＝f ( x ) 的圖象最有可能是下列選項(xiàng)中的 ( ) [答案 ] C [解析 ] 題目所給出的是導(dǎo)函數(shù)的圖象，導(dǎo)函數(shù)的圖象在 x軸的上方，表示導(dǎo)函數(shù)大于零，原函數(shù)的圖象呈上升趨勢；導(dǎo)函數(shù)的圖象在 x軸的下方，表示導(dǎo)函數(shù)小于零，原函數(shù)的圖象呈下降趨勢．由 x∈ (－ ∞ ， 0)時(shí)導(dǎo)函數(shù)圖象在 x軸的上方，表示在此區(qū)間上，原函數(shù)的圖象呈上升趨勢，可排除 B、 D兩選項(xiàng)． 由 x∈ (0,1)時(shí)，圖象在 x軸的下方，表示在此區(qū)間上，原函數(shù)的圖象呈下降趨勢，可排除 A選項(xiàng)． 課堂典例探究 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． ( 1 ) f ( x ) ＝ 3 x2－ ln x ； ( 2 ) f ( x ) ＝－13ax3＋ x2＋ 1( a ≤ 0) ． [ 分析 ] 按照利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟求解，注意函數(shù)的定義域． [ 解析 ] ( 1 ) 函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ， 且 f ′ ( x ) ＝ 6 x －1x＝6 x2－ 1x 令6 x2－ 1x0 ，又 x 0 ， ∴ 6 x2－ 1 0 ， ∴ x 66. ∴ f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間為????????66，＋ ∞ ； 令6 x2－ 1x0 ，又 x 0 ， ∴ 6 x2－ 1 0 ， ∴ 0 x 66. ∴ f ( x ) 的單調(diào)減區(qū)間為????????0 ，66. ( 2 ) f ( x ) 的定義域?yàn)?( － ∞ ，＋ ∞ ) ，且 f ′ ( x ) ＝－ ax2＋ 2 x ① 當(dāng) a ＝ 0 時(shí)， f ( x ) ＝ x2＋ 1 ， f ′ ( x ) ＝ 2 x ，
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