人教b版高中數學選修2-2第1章導數及其應用知能基礎測試(編輯修改稿)
2026-01-08 04:56 本頁面
【文章內容簡介】 x)＝ ax2－ 1x 在 (0，＋ ∞) 上為增函數，則實數 a的 取值范圍是 ________． [答案 ] a≥0 [解析 ] f′( x)＝ ??? ???ax－ 1x ′ ＝ a＋ 1x2， 由題意得， a＋ 1x2≥0 對 x∈ (0，＋ ∞) 恒成立， 即 a≥ － 1x2， x∈ (0，＋ ∞) 恒成立． ∴ a≥0. 15． (2021178。 安徽理， 15)設 x3＋ ax＋ b＝ 0，其中 a， b均為實數．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是 ________． (寫出所有正確條件的編號 ) ① a＝－ 3， b＝－ 3； ② a＝－ 3， b＝ 2； ③ a＝－ 3， b＞ 2； ④ a＝ 0， b＝ 2； ⑤ a＝ 1， b＝2. [答案 ] ①③④⑤ [解析 ] 令 f(x)＝ x3＋ ax＋ b，求導得 f′( x)＝ 3x2＋ a，當 a≥0 時， f′( x)≥0 ，所以f(x)單調遞增，且至少存在一個數使 f(x)0，至少存在一個數使 f(x)0，所以 f(x)＝ x3＋ax＋ b必有一個零點，即方程 x3＋ ax＋ b＝ 0僅有一根，故 ④⑤ 正確；當 a0時，若 a＝－ 3，則 f′( x)＝ 3x2－ 3＝ 3(x＋ 1)(x－ 1)，易知， f(x)在 (－ ∞ ，－ 1)， (1，＋ ∞) 上單調遞增，在 [－ 1,1]上單調遞減，所以 f(x)極大 ＝ f(－ 1)＝－ 1＋ 3＋ b＝ b＋ 2， f(x)極小 ＝ f(1)＝ 1－ 3＋ b＝ b－ 2，要使方程僅有一根，則 f(x)極大 ＝ f(－ 1)＝－ 1＋ 3＋ b＝ b＋ 20 或者 f(x)極小 ＝ f(1)＝ 1－ 3＋ b＝ b－ 20，解得 b－ 2 或 b2，故 ①③ 正確．所以使得三次方程僅有一個實根的是 ①③④⑤ . 16．已知函數 f(x)＝ x3－ 3x，若過點 A(1， m)(m≠ － 2)可作曲線 y＝ f(x)的三條切線，則實數 m的取值范圍為 ________． [答案 ] (－ 3，－ 2) [解析 ] f ′( x)＝ 3x2－ 3，設切點為 P(x0， y0)，則切線方程為 y－ (x30－ 3x0)＝ (3x20－3)(x－ x0)， ∵ 切線經過點 A(1， m)， ∴ m－ (x30－ 3x0)＝ (3x20－ 3)(1－ x0)， ∴ m＝－ 2x30＋ 3x20－3， m′ ＝－ 6x20＋ 6x0， ∴ 當 0x01 時，此函數單調遞增，當 x00或 x01 時，此函數單調遞減，當 x0＝ 0時， m＝－ 3，當 x0＝ 1時， m＝－ 2， ∴ 當－ 3m－ 2時，直線 y＝ m與函數 y＝－ 2x30＋ 3x20－ 3 的圖象有三個不同交點，從而 x0有三個不同實數根，故過點 A(1， m)可作三條不同切線， ∴ m的取值范圍是 (－ 3，－ 2)． 三、解答題 (本大題共 6個小題，共 74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ) 17． (本題滿分 12 分 )設 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，其中 a∈ R，曲線 y＝ f(x)在點 (1，f(1))處的切線 垂直于 y軸． (1)求 a的值； (2)求函數 f(x)的極值． [解析 ] (1)因為 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1， 故 f′( x)＝ ax－ 12x2＋ 32. 由于曲線 y＝ f(x)在點 (1， f(1))處的切線垂直于 y 軸，故該切線斜率為 0，即 f′(1)＝ 0，從而 a－ 12＋ 32＝ 0，
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