人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知能基礎(chǔ)測(cè)試(完整版)
【正文】 a(x－ b)2＋ c的圖象如圖所示，則函數(shù) f(x)的圖象可能是 ( ) [答案 ] D [解析 ] 由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù) f(x)遞減，排除 A， B；當(dāng) 0xx1時(shí)，f ′( x)0，函數(shù) f(x)遞增．因此，當(dāng) x＝ 0時(shí)， f(x)取得極小值，故選 D. 12． (2021178。 安徽理， 15)設(shè) x3＋ ax＋ b＝ 0，其中 a， b均為實(shí)數(shù)．下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是 ________． (寫出所有正確條件的編號(hào) ) ① a＝－ 3， b＝－ 3； ② a＝－ 3， b＝ 2； ③ a＝－ 3， b＞ 2； ④ a＝ 0， b＝ 2； ⑤ a＝ 1， b＝2. [答案 ] ①③④⑤ [解析 ] 令 f(x)＝ x3＋ ax＋ b，求導(dǎo)得 f′( x)＝ 3x2＋ a，當(dāng) a≥0 時(shí)， f′( x)≥0 ，所以f(x)單調(diào)遞增，且至少存在一個(gè)數(shù)使 f(x)0，至少存在一個(gè)數(shù)使 f(x)0，所以 f(x)＝ x3＋ax＋ b必有一個(gè)零點(diǎn)，即方程 x3＋ ax＋ b＝ 0僅有一根，故 ④⑤ 正確；當(dāng) a0時(shí)，若 a＝－ 3，則 f′( x)＝ 3x2－ 3＝ 3(x＋ 1)(x－ 1)，易知， f(x)在 (－ ∞ ，－ 1)， (1，＋ ∞) 上單調(diào)遞增，在 [－ 1,1]上單調(diào)遞減，所以 f(x)極大 ＝ f(－ 1)＝－ 1＋ 3＋ b＝ b＋ 2， f(x)極小 ＝ f(1)＝ 1－ 3＋ b＝ b－ 2，要使方程僅有一根，則 f(x)極大 ＝ f(－ 1)＝－ 1＋ 3＋ b＝ b＋ 20 或者 f(x)極小 ＝ f(1)＝ 1－ 3＋ b＝ b－ 20，解得 b－ 2 或 b2，故 ①③ 正確．所以使得三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是 ①③④⑤ . 16．已知函數(shù) f(x)＝ x3－ 3x，若過點(diǎn) A(1， m)(m≠ － 2)可作曲線 y＝ f(x)的三條切線，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為 ________． [答案 ] (－ 3，－ 2) [解析 ] f ′( x)＝ 3x2－ 3，設(shè)切點(diǎn)為 P(x0， y0)，則切線方程為 y－ (x30－ 3x0)＝ (3x20－3)(x－ x0)， ∵ 切線經(jīng)過點(diǎn) A(1， m)， ∴ m－ (x30－ 3x0)＝ (3x20－ 3)(1－ x0)， ∴ m＝－ 2x30＋ 3x20－3， m′ ＝－ 6x20＋ 6x0， ∴ 當(dāng) 0x01 時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) x00或 x01 時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng) x0＝ 0時(shí)， m＝－ 3，當(dāng) x0＝ 1時(shí)， m＝－ 2， ∴ 當(dāng)－ 3m－ 2時(shí)，直線 y＝ m與函數(shù) y＝－ 2x30＋ 3x20－ 3 的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，從而 x0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，故過點(diǎn) A(1， m)可作三條不同切線， ∴ m的取值范圍是 (－ 3，－ 2)． 三、解答題 (本大題共 6個(gè)小題，共 74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ) 17． (本題滿分 12 分 )設(shè) f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，其中 a∈ R，曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1，f(1))處的切線 垂直于 y軸． (1)求 a的值； (2)求函數(shù) f(x)的極值． [解析 ] (1)因?yàn)?f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1， 故 f′( x)＝ ax－ 12x2＋ 32. 由于曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y 軸，故該切線斜率為 0，即 f′(1)＝ 0，從而 a－ 12＋ 32＝ 0， 解得 a＝－ 1. (2)由 (1
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