人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第2課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值-資料下載頁
2025-11-09 01:21本頁面
【導(dǎo)讀】第2課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值。蘇軾《題西林壁》中的詩句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低。各不同”，描述的是廬山的高低起伏，錯落有致．在群山之。中，各個山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是。其附近的最高點(diǎn)．。那么，在數(shù)學(xué)上，這種現(xiàn)象如何來刻畫呢？答案：，由f′>0可得函數(shù)的增區(qū)間，2．設(shè)y＝f的定義域為I，若存在實數(shù)M滿足：?有f≤(≥)M，且存在x0∈I，使得f＝M，則稱M是y＝f的最。記作y極大＝f，并把x0稱為函數(shù)f的一個極大值點(diǎn)．如果在。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為。一點(diǎn)及左、右兩側(cè)區(qū)域而言的．在函數(shù)的整個定義區(qū)間內(nèi)可能。點(diǎn)x1、x3是極大值點(diǎn)，x2、x4是極小值點(diǎn)，且在點(diǎn)x1處的極。極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．。函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能。的左側(cè)附近f只能是。綜合以上情形，可以得到：若x. ①如果f′的符號由正變負(fù)，則f(x
【正文】 ) ＝ 0 的兩根，求出 a ， b 的值；再求出 f ( x ) 在 [ 0 , 3 ] 上的最大值， f ( x ) c 2 恒成立即c 2 f ( x ) m a x . 從而解出 c 的值． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ f ′ ( x ) ＝ 6 x2＋ 6 ax ＋ 3 b ， 又 f ( x ) 在 x ＝ 1 及 x ＝ 2 處取得極值， ∴ f ′ ( 1 ) ＝ 0 ， f ′ ( 2 ) ＝ 0 ， ∴????? f ′ ? 1 ? ＝ 6 ＋ 6 a ＋ 3 b ＝ 0f ′ ? 2 ? ＝ 24 ＋ 12 a ＋ 3 b ＝ 0 ①② 由 ①② 解得????? a ＝－ 3b ＝ 4. ( 2 ) 若對于任意的 x ∈ [ 0 , 3 ] ，都有 f ( x ) c2成立，只需 f ( x ) 在 x ∈[ 0 , 3 ] 上的最大值小于 c2即可． 又當(dāng) x ＝ 1 或 x ＝ 2 時， f ′ ( x ) ＝ 0 ， 當(dāng) x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x 0 ( 0 , 1 ) 1 ( 1 , 2 ) 2 ( 2 , 3 ) 3 f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 8 c 極大值 5 ＋ 8 c 極小值 4 ＋ 8 c 9 ＋ 8 c 可知 y ＝ f ( x ) 在 x ∈ [ 0 , 3 ] 上的最大值為 f ( 3 ) ＝ 9 ＋ 8 c ， ∴ 9 ＋ 8 c c 2 ，解得 c － 1 或 c 9 . 所以 c 的取值范圍是 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (9 ，＋ ∞ ) ． [ 方法總結(jié) ] 利用轉(zhuǎn)化的思想把恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題．注意求函數(shù)最值常用的方法：單調(diào)性法、求導(dǎo)法．為更清楚地判斷極值 ( 或最值 ) 情況，可結(jié)合列表法進(jìn)行． 例 5 中 ( 2 ) 改為 “ 若對任意的 x ∈ [ 0 , 3 ] 都有 f ( x ) ≥ c2成立，求 c的取值范圍 ” ，如何解答？ [ 解析 ] 由例題可知 f ( x ) ＝ 2 x3－ 9 x2＋ 12 x ＋ 8 c ， 若對任意的 x ∈ [ 0 , 3 ] ，都有 f ( x ) ≥ c2成立，只需 f ( x ) 在 x ∈ [ 0 , 3 ]上的最小值大于 c2即可． 又當(dāng) x ＝ 1 或 x ＝ 2 時， f ′ ( x ) ＝ 0 ， 當(dāng) x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x 0 ( 0 , 1 ) 1 ( 1 , 2 ) 2 ( 2 , 3 ) 3 f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 8 c 極大值 5 ＋ 8 c 極小值 4 ＋ 8 c 9 ＋ 8 c 可見函數(shù) f ( x ) 在 [ 0 , 3 ] 上的最小值為 8 c ， ∴ f ( x ) ≥ c2恒成立，等價于 8 c ≥ c2， 解得 0 ≤ c ≤ 8. 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 時有極值為 0 ，求常數(shù) a ， b 的值． [ 錯解 ] 因為 f ( x ) 在 x ＝－ 1 時有極值為 0 ，且 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋6 ax ＋ b ， 所以????? f ′ ? － 1 ? ＝ 0 ，f ? － 1 ? ＝ 0 ，即????? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0 ，－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a2＝ 0. 解得????? a ＝ 1 ，b ＝ 3 ，或????? a ＝ 2 ，b ＝ 9. 因此常數(shù) a ＝ 1 時， b ＝ 3 ； a ＝ 2 時， b ＝ 9. [辨析 ] 根據(jù)極值的定義 ， 函數(shù)先減后增為極小值 ， 函數(shù)先增后減為極大值 ， 此題未驗證 x＝－ 1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性 ． [正解 ] 由錯解得當(dāng) a＝ 1， b＝ 3時， f′ (x)＝ 3x2＋ 6x＋ 3＝3(x＋ 1)2≥ 0， 所以 f(x)在 R上為增函數(shù)，無極值，故舍去． 當(dāng) a＝ 2， b＝ 9時， f′ (x)＝ 3x2＋ 12x＋ 9＝ 3(x＋ 1)(x＋ 3)． 當(dāng) x∈ (－ 3，－ 1)時， f(x)為減函數(shù)， 當(dāng) x∈ (－ 1，＋ ∞ )時， f(x)為增函數(shù)， 所以 f(x)在 x＝－ 1處取得極小值，因此 a＝ 2， b＝ 9. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值??????? 極大值、極小值的概念 ? 理解 ?求極大值、極小值的方法 ? 掌握 ?求最大值、最小值的方法 ? 掌握 ?函數(shù)極值的應(yīng)用 ? 掌握 ?
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1