人教b版高中數(shù)學選修2-2第3章32第2課時復數(shù)的乘法與除法-資料下載頁
2024-11-17 20:06本頁面
【導讀】數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入。第2課時復數(shù)的乘法與除法。在研究復數(shù)的乘法時，我們注意到復數(shù)的形式就像一個二。項式，類比二項式乘二項式的法則，我們可以得到復數(shù)乘法的。法則讓第一項與第二項的各項分別相乘，再合并“同類項”，－bd)＋i.顯然，兩個復數(shù)的積仍然為復數(shù)．。的運算方式來實施：。＝＝ac＋bdi＋bci＋bdi. 復數(shù)的乘法運算滿足交換律、結(jié)合律、乘法對加法的分配。＋)稱為復數(shù)的n次冪，記為z. 根據(jù)復數(shù)乘法的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的。復數(shù)集內(nèi)不一定成立．如：。②z1，z2∈R時，z. 零的必要不充分條件．。A．1＋2iB．1－2i. C．－1＋2iD．－1－2i. 已知z＝a＋bi，如果存在一個復數(shù)z′，使z·z′＝1，則z′叫做z的倒數(shù)，記作。＋bi)＝1，兩邊同乘，得·＝a. 計算復數(shù)的乘積要用到虛數(shù)單位i的乘方，i
【正文】 示出 |u＋ z2|來 ， 就很可能是問題得以解決的一個重大轉(zhuǎn)化 ． 這需要正確的復數(shù)運算和三角交換及求值的技巧 ． [ 解析 ] ( 1 ) z 2 ＝12[ ? 2 ＋ i ? ＋ i]? 2i ＋ 1 ? － ? 2 ＋ i ? ＝1 ＋ ii － 1＝2i－ 2＝－ i. ( 2 ) 在 △ A BC 中， ∵ A 、 B 、 C 依次成等差數(shù)列， ∴ 2 B ＝ A ＋ C ， ∴ B ＝ 60176。 ， A ＋ C ＝ 1 2 0 176。 . ∴ u ＋ z2＝ c o s A ＋ 2 i c o s2C2－ i ＝ c o s A ＋ i????????2 c o s2C2－ 1 ＝ c o s A ＋ i c o s C . ∴ |u ＋ z2|2＝ c o s2A ＋ c o s2C ＝1 ＋ c o s 2 A2＋1 ＋ c o s 2 C2 ＝ 1 ＋12( c o s2 A ＋ c o s2 C ) ＝ 1 ＋ c o s( A ＋ C ) c o s( A － C ) ＝ 1 ＋ c o s1 2 0 176。 c o s( A － C ) ＝ 1 －12c o s( A － C ) ． 由 A ＋ C ＝ 1 2 0 176。 ? A － C ＝ 1 2 0 176。 － 2 C ， ∴ － 1 2 0 176。 A － C 1 2 0 176。 . ∴ －12c o s( A － C ) ≤ 1. ∴12≤ 1 －12c o s( A － C )54. ∴ |u ＋ z 2 |的取值范圍是????????12，54. [ 方法總結(jié) ] 本題是一道復數(shù)和三角函數(shù)的綜合題，利用了降冪公式．角的和差化積的技巧，最后轉(zhuǎn)化成一個三角函數(shù)式在特定區(qū)間上的取值范圍問題，需要扎實細致 的基本功和運算技巧． 設等比數(shù)列 z 1 ， z 2 ， z 3 ， ? ， z n ，其中 z 1 ＝ 1 ， z 2 ＝ a ＋ b i ， z 3＝ b ＋ a i( a ， b ∈ R ，且 a 0 ) ． ( 1 ) 求 a ， b 的值； ( 2 ) 試求使 z 1 ＋ z 2 ＋ ? ＋ z n ＝ 0 的最小自然數(shù) n ； ( 3 ) 對 ( 2 ) 中的自然數(shù) n ，求 z 1 z 2 ? z n 的值． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ z1， z2， z3成等比數(shù)列， ∴ z22＝ z1 z3，即 ( a ＋ b i)2＝ b ＋ a i. ∴????? a2－ b2＝ b2 ab ＝ a. ∵ a 0 ， ∴ b ＝12， a ＝32. ( 2 ) ∵ z1＝ 1 ， z2＝32＋12i ， ∴ 公比 q ＝32＋12i ， ∵ zn＝ (32＋12i)n － 1. ∴ z1＋ z2＋ ? ＋ zn＝ 1 ＋ q ＋ q2＋ ? ＋ qn － 1＝1 － qn1 － q＝ 0 ， ∵ qn＝ 1. ∴ (32＋12i)n＝ ( － i)n( －12＋32i)n＝ 1. ∵ ( －12＋32i)3＝ 1 ， ( － i)4＝ 1 ， ∴ n 既是 3 的倍數(shù)，又是 4 的倍數(shù)． ∴ n 的最小值為 12. ( 3 ) z1 z2 z3? zn ＝ 1 (32＋12i ) ? (32＋12i)11 ＝ (32＋12i)1 ＋ 2 ＋ ? ＋ 11＝ (32＋12i)66 ＝ [( －12＋32i ) ( － i ) ]66 ＝ ( － i)66＝ i2＝－ 1. 已知 |z|＝ 2z＋ 9i， 求復數(shù) z. [錯解 ] 把等式兩邊同時平方， 得 z2＝ 4z2＋ 36iz－ 81. 即 (z＋ 3i)(3z＋ 27i)＝ 0， ∴ z1＝－ 3i， z2＝－ 9i. [辨析 ] 本題的錯因在于誤用等式 |z|2＝ z2，把實數(shù)集中去絕對值的方法運用到了此處．實質(zhì)上，在復數(shù)集中， |z|2＝ z2不一定成立．由此可見，對數(shù)學概念有清晰且正確的理解是正確解題的關(guān)鍵． [ 正解 ] 設 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，則由 |z |＝ 2 z ＋ 9i ，得 a2＋ b2＝ 2 a ＋ (2 b ＋ 9 ) i . 由復數(shù)相等的條件知????? a2＋ b2＝ 2 a ，2 b ＋ 9 ＝ 0 ，?????? a ＝3 32，b ＝－92. ∴ z ＝3 32－92i. 復數(shù)的運算??????? 復數(shù)的乘法????? 運算法則 ? 掌握 ?滿足的運算律 ? 掌握 ?復數(shù)的除法????? 復數(shù)倒數(shù)的概念 ? 理解 ?運算法則 ? 掌握 ?
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