人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章11第3課時導數(shù)的幾何意義-資料下載頁
2024-11-17 20:06本頁面
【導讀】第3課時導數(shù)的幾何意義。下雨天，當我們將雨傘轉(zhuǎn)動時，傘面邊沿的水滴沿著傘的。切線方向飛出．實際上物體做曲線運動時，運動方。向在不停地變化，其速度方向為質(zhì)點在其軌跡曲線上的切線方。y＝f在x＝x0處導數(shù)的定義是什么？2．過定點且斜率為k的直線點斜式方程是什么？3．在初中學過的圓的切線定義是什么？3．直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時。設(shè)函數(shù)y＝f的圖象如圖所示．AB是。Δx→0，割線逐漸變化，最終變?yōu)榍芯€AD.在此過程中割線AB斜率。易忽視“沿曲線”而說成“當點B趨近于點A時”，這就不準。線，則切線與x軸垂直．如f＝x在x＝0處有切線，但函數(shù)在。②若f′>0，切線的傾斜角為銳角；若f′<0，切線?！扒€y＝f在點處的切線f′是曲線在該點處。相關(guān)的幾何問題，這些問題是“數(shù)”與“形”的完美統(tǒng)一，也。求出函數(shù)y＝f在x＝x0處的導數(shù)f′，由導數(shù)的幾何意
【正文】 1x在點 ( 1 , 1 ) 的一條切線方程為 y － 1 ＝－ ( x － 1) ，即 y ＝－ x ＋ 2. 同理，曲線 y ＝ x2在點 (1 , 1 ) 的切線斜率為 f′ ( 1 ) ＝ l i mΔ x → 0 ? 1 ＋ Δ x ?2－ 12Δ x ＝ l i mΔ x → 0 2Δ x ＋ ? Δ x ?2Δ x ＝ l i mΔ x → 0 ( 2 ＋ Δ x ) ＝ 2. 所以曲線 y ＝ x2在點 ( 1 , 1 ) 的切線方程為 y － 1 ＝ 2( x － 1) ，即 y＝ 2 x － 1. 兩條切線方程 y ＝－ x ＋ 2 和 y ＝ 2 x － 1 與 x 軸所圍成的圖形如圖所示， 所以 S ＝12 1 (2 －12) ＝34，故三角形的面積為34. [ 方法總結(jié) ] 本題將曲線的切線與求三角形的面積相聯(lián)系，要作出草圖幫助分析三角形的位置，從而順利解題． 曲線 y＝ x3在 x0＝ 0處的切線是否存在 ， 若存在 ， 求出切線的斜率和切線方程；若不存在 ， 請說明理由 ． [ 解析 ] 令 y ＝ f ( x ) ＝ x3， Δ y ＝ f (0 ＋ Δ x ) － f ( 0 ) ＝ Δ x3， Δ yΔ x＝ Δ x2，當 Δ x 無限趨近于 0 時，Δ yΔ x無限趨近于常數(shù) 0 ，這說明割線會無限趨近于一個極限位置，即曲線在 x ＝ 0 處的切線存在，此時切線的斜率為 0(Δ yΔ x無限趨近于 0) ，又曲線過點( 0 , 0 ) ，故切線方程為 y ＝ 0. [ 方法總結(jié) ] ( 1 ) y ＝ x3在點 ( 0 , 0 ) 處的切線是 x 軸，符合切線定義．這似乎與學過的切線知識有所不同，其實不然，直線與曲線有兩個公共點時，在其中一點也可能相切．如圖所示． ( 2 ) 對于曲線在點 x0處的切線有下面的情形：若Δ yΔ x( 當 Δ x 無限趨近于 0 時 ) 的極限不存在時，可分兩種情況：其一是趨近于∞ ，則切線的斜率不存在，但切線存在 ( 為垂直于 x 軸的直線 ) ；其二是Δ yΔ x既不趨近于某一常數(shù)也不趨近于 ∞ ，則此時切線不存在 . 求拋物線 y ＝ x 2 過點 ???? ????52 ， 6 的切線方程． [ 錯解 ] ∵ l i mΔ x → 0 f????????52＋ Δ x － f????????52Δ x＝ l i mΔ x → 0 ????????52＋ Δ x2－????????522Δ x ＝ l i mΔ x → 0 ( 5 ＋ Δ x ) ＝ 5 ， ∴ 拋物線過點????????52， 6 的切線的斜率為 5. 由直線方程的點斜式，得切線方程為 y － 6 ＝ 5????????x －52，即 10 x － 2 y － 13 ＝ 0. [辨析 ] 應先判斷點是否在曲線上 ， 點不在曲線上誤認為在曲線上而產(chǎn)生錯解 ． [ 正解 ] 設(shè)切線過拋物線上的點 ( x0， x20) ，由導數(shù)的意義知此切線的斜率為 2 x0.又因為此切線過點????????52， 6 和點 ( x0， x20) ， 其斜率應滿足x20－ 6x0－52＝ 2 x0， ∴ x20－ 5 x0＋ 6 ＝ 0 ，解得 x0＝ 2 或 x0＝ 3. ∴ 切線方程為 y － 4 ＝ 4( x － 2) 或 y － 9 ＝ 6( x － 3) ； 化簡得： 4 x － y － 4 ＝ 0 或 6 x － y － 9 ＝ 0. 導數(shù)的幾何意義??????????? 導數(shù)的幾何意義 ? 理解 ?幾何意義的應用 ? 掌握 ?????????? 求切線的傾斜角 ? 斜率 ?求切線方程求切點坐標求三角形面積綜合應用
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