人教b版高中數(shù)學選修2-2第3章32第2課時《復數(shù)的乘法與除法》-全文預覽
【正文】 －＝ 0 ； ( 4 ) z ＋ z－＝ 2 a ， z － z－＝ 2 b i ； ( 5 ) z1177。 i )2＝ 177。 i2＝－ i ， i4＝ i3北京理， 1)復數(shù) i(2－ i)＝ ( ) A． 1＋ 2i B． 1－ 2i C．－ 1＋ 2i D．－ 1－ 2i [答案 ] A [解析 ] i(2－ i)＝ 1＋ 2i. 二、復數(shù)的除法 1 ．復數(shù)的倒數(shù) 已知 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ，且 ab ≠ 0) ，如果存在一個復數(shù) z ′ ，使 z z3. 3 ．復數(shù)的乘方 ( 1 ) 復數(shù)的乘方是相同復數(shù)的積，即把 z z3＝ z1 z2＝ ( a ＋ b i ) ( c ＋ d i) ＝ ac ＋ bd i ＋ bc i ＋ bd i2＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad＋ bc ) i . 2 ．乘法的運算律 設 z1＝ a1＋ b1i ， z2＝ a2＋ b2i ， z3＝ a3＋ b3i( ai， bi∈ R ， i＝ 1 , 2 , 3 ) ， 則 z1z2＝ ( a1＋ b1i) ＋ ( a2＋ b2i) ＝ a1a2＋ a1b2i ＋ a2b1i ＋ b1b2i2＝( a1a2－ b1b2) ＋ ( a1b2＋ a2b1)i ， z2z1＝ ( a2＋ b2i ) ( a1＋ b1i) ＝ a2a1＋ a2b1i＋ a1b2i ＋ b1b2i2＝ ( a1a2－ b1b2) ＋ ( a1b2＋ a2b1)i ，所以 z1z2＝ z2z1. 同理可證 ( z1z2) z3＝ z1( z2z3) ， z1( z2＋ z3) ＝ z1z2＋ z1z3. 復數(shù)的乘法運算滿足交換律、結合律、乘法對加法的分配律，即對任意復數(shù) z1， z2， z3，有 z1 z2＝ ( ac－ bd ) ＋ ( ad ＋ bc ) i . 顯然，兩個復數(shù)的積仍然為復數(shù)． 注意： 由定義可以看出，復數(shù)的乘法可以按照多項式乘法的運算方式來實施： z1 z2) z2＋ z1 z ( n 個 z )( n ∈ N＋ ) 稱為復數(shù)的 n 次冪，記為 zn. ( 2 ) 根據(jù)復數(shù)乘法的運算律，在實數(shù)范圍內正整數(shù)指數(shù)冪的運算律在復數(shù)范圍內仍然成立，即對任意的 z1， z2， z ∈ C 及 m ，n ∈ N ＋ ，有 zmzn＝ zm ＋ n， ( zm)n＝ zmn， ( z1z2)n＝ zn1zn2. 注意： ( 1 ) 規(guī)定 z0＝ 1 ， z－ m＝1zm ( z ≠ 0 ， m ∈ N ＋ ) ，則復數(shù)指數(shù)冪的運算可以把 m ， n 推廣到整數(shù)集，即 m ， n ∈ Z ( 注意：只推廣到整數(shù)集 ) ． ( 2 ) 實數(shù)集內乘法、乘方的一些重要結論和一些運算法則在復數(shù)集內不一定成立．如： ① z ∈ R 時， |z |2＝ z2. z ∈ C 時， |z |2∈ R ，而 z2∈ C ， ∴ |z |2≠ z2. ② z 1 ， z 2 ∈ R 時， z21 ＋ z22 ＝ 0 ? z 1 ＝ 0 且 z 2 ＝ 0. z 1 ， z 2 ∈ C 時， z21 ＋ z22 ＝ 0 ? / z 1 ＝ 0 且 z 2 ＝ 0 ，但 z 1 ＝ 0 ， z 2 ＝0 ? z21 ＋ z22 ＝ 0. 也就是說，兩個復數(shù)的平方和為零，是這兩個復數(shù)同時為零的必要不充分條件． (2020 ( c ＋ d i) ＝a ＋ b ic ＋ d i＝? a ＋ b i ?? c － d i ?c2＋ d2 ＝? ac ＋ bd ? ＋ ? bc － ad ? ic2＋ d2＝a ＋ bdc2＋ d2＋bc － adc2＋ d2i. 注意： 復數(shù)的除法實質上就是分母實數(shù)化的過程，即分子、分母同時乘分母的共軛復數(shù)．這與實數(shù)的除法有所不同，實數(shù)的除法可以直接約分化簡，得出結論，而復數(shù)的除法因為分母為復數(shù)，一般不能約分化簡，但如果分子、分母含有相同的因式，也可直接約分，如2 ＋ 4i1 ＋ 2i＝2 ? 1 ＋ 2i ?1 ＋ 2i＝ 2 ，可直接約分，但2 ＋ 2i1 ＋ 2i無法約分化簡，只能按復數(shù)除法運算法則進行計算． 復數(shù) z滿足 (z－ i)(2－ i)＝ 5，那么 z＝ ( ) A．－ 2－ 2i B．－ 2＋ 2i C． 2－ 2i D． 2＋ 2i [答案 ] D [ 解析 ] 本題考查了復數(shù)的四則運算主要是除法運算． ( z － i ) ( 2 － i) ＝ 5 ? z － i ＝52 － i? z ＝ i ＋5 ? 2 ＋ i ?? 2 － i ??
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