人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第2課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(已改無錯(cuò)字)
2022-12-31 01:21:10 本頁面
【正文】 ???????43， 2 2 f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) － 2 1 －527 1 從上表可知，最大值是 1 ，最小值是－ 2. [ 方法總結(jié) ] 注意比較求函數(shù)的最值與求函數(shù)極值的不同． 求函數(shù) f ( x ) ＝ l n ( 1 ＋ x ) － 14 x 2 在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上的最值． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝11 ＋ x－12x ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，即11 ＋ x－12x ＝ 0 ， 得 x ＝－ 2 或 1 ， 又 x ＋ 1 0 ， ∴ x － 1 ， ∴ x ＝－ 2 舍去． ∵ f ( 0 ) ＝ 0 ， f ( 1 ) ＝ l n 2 －14， f ( 2 ) ＝ l n 3 － 1 ， ∴ 該函數(shù)在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上的最大值為 l n 2 －14，最小值為 0. 含參數(shù)的最值問題 已知函數(shù) f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b，問是否存在實(shí)數(shù)a， b，使 f(x)在 [－ 1,2]上取最大值 3，最小值－ 29，若存在，求出 a， b的值；若不存在，說明理由． [分析 ] 利用求最值的方法確定 a、 b的值，注意對(duì) a的討論． [ 解析 ] 顯然 a ≠ 0. f ′ ( x ) ＝ 3 ax 2 － 12 ax ＝ 3 ax ( x － 4) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 4( 舍去 ) ． ( 1 ) 當(dāng) a 0 時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) 、 f ( x ) 的變化情況見下表： x [ － 1 , 0 ) 0 ( 0 , 2 ] f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) 最大值 所以當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， f ( x ) 取得最大值，所以 b ＝ 3. 又 f ( 2 ) ＝－ 16 a ＋ 3 ， f ( － 1) ＝－ 7 a ＋ 3 ， f ( － 1 ) f ( 2 ) ， 所以當(dāng) x ＝ 2 時(shí)， f ( x ) 取得最小值，－ 16 a ＋ 3 ＝－ 29 ， 即 a ＝ 2. ( 2 ) 當(dāng) a 0 時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x [ － 1 , 0 ) 0 ( 0 , 2 ] f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 最小值 所以當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， f ( x ) 取得最小值，所以 b ＝－ 2 9 . 又 f ( 2 ) ＝－ 16 a － 29 ， f ( － 1) ＝－ 7 a － 29 ， f ( 2 ) f ( － 1) ． 所以當(dāng) x ＝ 2 時(shí)， f ( x ) 取得最大值，即－ 16 a － 29 ＝ 3 ， 即 a ＝－ 2. 綜上所述 a ＝ 2 ， b ＝ 3 或 a ＝－ 2 ， b ＝－ 2 9 . [ 方法總結(jié) ] 本題綜合運(yùn)用求極值、最值的方法確定參數(shù)a 、 b ，注意對(duì) a 的討論和最大、最小值的確定． 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ ax3＋ bx2－ 3 a2x ＋ 1( a 、 b ∈ R ) ．在 x ＝ x 1 ， x ＝ x 2處取得極值，且 | x 1 － x 2 |＝ 2. ( 1 ) 若 a ＝ 1 ，求 b 的值； ( 2 ) 若 a 0 ，求 a 、 b 的關(guān)系及 a 的取值范圍． [ 解析 ] 由已知得 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 bx － 3 a2.① ( 1 ) 當(dāng) a ＝ 1 時(shí)， f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 bx － 3. 由題意知 x 1 ， x 2 是方程 3 x2＋ 2 bx － 3 ＝ 0 的兩根， 所以 | x 1 － x 2 |＝4 b2＋ 363. 又因?yàn)?| x 1 － x 2 |＝ 2 ，得 b ＝ 0. ( 2 ) 由 ① 式及題意知 x1， x2是方程 3 ax2＋ 2 bx － 3 a2＝ 0 的兩實(shí)根， 所以 | x1－ x2|＝4 b2＋ 36 a33 a. 從而 | x1－ x2|＝ 2 ? b2＝ 9 a2(1 － a ) ， 所以 0 a ≤ 1. 即 a 的取值范圍是 ( 0 , 1 ] . 利用函數(shù)最值處理不等式問題 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x3＋ 3 a x2＋ 3 bx ＋ 8 c 在 x ＝ 1 及 x ＝ 2處取得極值． ( 1 ) 求 a ， b 的值； ( 2 ) 對(duì)于任意的 x ∈ [ 0 , 3 ] ，都有 f ( x ) c2成立，求 c 的取值范圍． [ 分析 ] 解答本題首先由 x ＝ 1 ， x ＝ 2 是 f ′ ( x
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