人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章13第2課時利用導數(shù)研究函數(shù)的極值-文庫吧資料
2025-11-19 01:21本頁面
【正文】 ′ ( x ) 在 x 0 的左右兩側(cè)異號才能在 x 0 處取得極值；反之，當函數(shù) f ( x ) 在 x 0 處取得極值時，也可能 f ( x ) 在 x 0 處不存在導數(shù)，所以也不一定有 f ′ ( x 0 ) ＝ 0. 所以 f ′ ( x 0 ) ＝ 0 是函數(shù) f ( x ) 在 x 0 處取得極值的既不充分也不必要條件，故選 D. 二、函數(shù)的最大值與最小值 1 ．利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法 函數(shù) f ( x ) 在閉區(qū)間 [ a ， b ] 上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在 [ a ， b ] 上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得． 例如，如圖，曲線為函數(shù) f ( x ) 的圖象，定義域為 [ a ， b ] ，則易得f ( x2) ， f ( x4) 是極大值， f ( x1) ， f ( x3) ，f ( x5) 是極小值，比較極大值及端點的函數(shù)值知函數(shù)的最大值是 f ( b ) ，比較極小值及端點的函數(shù)值知函數(shù)的最小值是 f ( x3) ． 注意： (1)求可導函數(shù) y＝ f(x)在 [a， b]上的最大值，最小值步驟： ① 求 f(x)在開區(qū)間 (a， b)內(nèi)所有使 f′ (x)＝ 0的點； ② 計算函數(shù) f(x)在區(qū)間內(nèi)使 f′ (x)＝ 0的所有點和端點的函數(shù)值，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值． (2)若函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上是單調(diào)函數(shù)，則可直接利用單調(diào)性法求函數(shù)的最值，即若 f(x)在 [a， b]上遞增，則 f(x)的最大值為 f(b)，最小值為 f(a)；若 f(x)在 [a， b]上遞減，則 f(x)的最大值為 f(a)，最小值為 f(b)． 2．極值與最值的關(guān)系 (1)函數(shù)的最值是一個整體性的概念．函數(shù)極值是函數(shù)在某一點及其附近的局部性概念，具有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個定義域上的情況，是對整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較． (2)函數(shù)在一個閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值． (3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取必定是極值． ( 4 ) 開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最值．例如 y ＝1x在區(qū)間( 0 , 1 ) 上是連續(xù)的，如圖，但在該區(qū)間上，函數(shù) y ＝1x既沒有最大值也沒有最小值． ( 5 ) 求函數(shù)的最值與函數(shù)的極值不同的是，在求可導函數(shù)的最值時，不需對各導數(shù)為零的點討論其是極大值還是極小值，只需將導數(shù)為零的點和端點的函數(shù)值進行比較即可． 下列結(jié)論正確的是 ( ) A．在區(qū)間 [a， b]上，函數(shù)的極大值就是最大值 B．在區(qū)間 [a， b]上，函數(shù)的極小值就是最小值 C．在區(qū)間 [a， b]上，函數(shù)在 x＝ a和 x＝ b時取得最大值和最小值 D．一般地，在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)的函數(shù) f(x))在 [a， b]上必有最大值和最小值 [答案 ] D [解析 ] 由于函數(shù)在給定的閉區(qū)間上不一定有極值，但必有最值，且最值有可能在端點處取得，也有可能在極值點取得，因此前三個選項都不正確． 三、函數(shù)極值與最值的應用技巧 (1)確定參數(shù)的值，這里一般用待定系數(shù)法． (2)求參數(shù)的取值范圍，運用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法． (3)判斷方程根的變化．這里一般是利用數(shù)形結(jié)合的思想來討論方程的根，即先根據(jù)函數(shù)極值的情況畫出函數(shù) f(x)的草圖，再觀察方程的根，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題． (4)證明不等式 這里一般是先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的最值來證明不等式． 求含參數(shù)的值域問題時，通常對參數(shù)進行分類討論． 如圖所示，三次函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ x 在區(qū)間 [ － 1 , 1 ] 上有極大值和極小值，求常數(shù) a 的取值范圍． [ 解析 ] ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ 1 ， f ( x ) 在區(qū)間 [ － 1 , 1 ] 上有極大值與極小值， 即 f ′ ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 [ － 1 , 1 ] 上有兩個相異的實根， ∴ 方程 3 x2＋ 2 ax ＋ 1 ＝ 0 在區(qū)間 [ － 1 , 1 ] 上有兩個相異的實根，則??????? Δ ＝ 4 a2－ 4 3 0 ，－ 1 －a31 ，f ′ ? 1 ? ＝ 2 a ＋ 4 ≥ 0 ，f ′ ? － 1 ? ＝－ 2 a ＋ 4 ≥ 0???????? a － 3 或 a 3 ，－ 3 a 3 ，a ≥ － 2 ，a ≤ 2. ∴ a ∈ [ － 2 ，－ 3 ) ∪ ( 3 ， 2] ． 課堂典例探究 求函數(shù)的極值 求函數(shù) f ( x ) ＝－
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