人教b版高中數學選修2-2第1章13第2課時利用導數研究函數的極值-wenkub.com
2025-11-04 01:21 本頁面
【正文】 1 是方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的兩個根且在根x ＝ 177。導數及其應用 第一章 導數的應用 第 2課時 利用導數研究函數的極值 第一章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預習 1 課前自主預習 蘇軾 《 題西林壁 》 中的詩句 “ 橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同 ” ，描述的是廬山的高低起伏，錯落有致．在群山之中，各個山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點． 那么，在數學上，這種現象如何來刻畫呢？ ？ 2．函數最大值、最小值的定義是什么？ 答案： ，由 f′(x)0可得函數的增區(qū)間，由 f′(x)0可得函數的減區(qū)間． 2．設 y＝ f(x)的定義域為 I，若存在實數 M滿足： ?x∈ I，都有 f(x)≤(≥)M，且存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M，則稱 M是 y＝ f(x)的最大 (小 )值 . 一、函數的極值 1．函數極值的概念 已知函數 f(x)，設 x0是定義域 (a， b)內任一點，如果對 x0附近的所有點 x，都有 f(x)f(x0)，則稱函數 f(x)在點 x0處取極大值，記作 y極大 ＝ f(x0)，并把 x0稱為函數 f(x)的一個極大值點．如果在x0附近都有 f(x)f(x0)，則稱函數 f(x)在點 x0處取極小值，記作 y極小 ＝ f(x0)，并把 x0稱為函數 f(x)的一個極小值點． 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點． 注意： ( 1 ) 函數的極值只是一個局部性的概念，是僅對某一點及左、右兩側區(qū)域而言的．在函數的整個定義區(qū)間內可能有多個極大值或極小值，且極大值不一定比極小值大，如圖， 點 x x3是極大值點， x x4是極小值點，且在點 x1處的極大值小于在點上 x4處的極小值． (2)極值點是自變量的值，極值指的是函數值． (3)函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點． (4)若 f(x)在 (a， b)內有極值，那么 f(x)在 (a， b)內絕對不會是單調函數，即在區(qū)間上的單調函數沒有極值． 2．極值與導數的關系 如圖 (1)，若 x0是極大值點，則在 x0的左側附近 f(x)只能是增函數，即 f′ (x)0，在 x0的右側附近 f(x)只能是減函數，即f′ (x)0. 如圖 ( 2 ) ，若 x0是極小值點，則在 x0的左側附近 f ( x ) 只能是減函數，即 f ′ ( x ) 0 ；在 x0的右側附近 f ( x ) 只能是增函數，即f ′ ( x ) 0 . 綜合以上情形，可以得到：若 x0滿足 f ′ ( x0) ＝ 0 ，且在 x0的兩側 f ( x ) 的導數異號，則 x0是 f ( x ) 的極值點， f ( x0) 是極值．若f ′ ( x ) 在 x0的兩側滿足 “ 左正右負 ” ，則 x0是 f ( x ) 的極大值點，f ( x0) 是極大值；若 f ′ ( x ) 在 x0的兩側滿足 “ 左負右正 ” ，則 x0是f ( x ) 的極小值點， f ( x0) 是極小值． 注意： 可導函數的極值點．必須是導數為 0 的點，但導數為 0 的點不一定是極值點．即 “ 點 x0是可導函數 f ( x ) 的極值點 ”是 “ f ′ ( x0) ＝ 0 ” 的充分不必要條件．不可導的點可能是極值點也可能不是極值點．例如： ① 導數為 0 的點是極值點： y ＝x2， y ′ |x ＝ 0＝ 0 ， x ＝ 0 是極值點． ② 導數為 0 的點不是極值點： y＝ x3， y ′ |x ＝ 0＝ 0 ， x ＝ 0 不是極值點． ③ 不可導的點是極值點：y ＝ | si n x |， x ＝ 0 不可導，但 x ＝ 0 是極值點． 3 ．利用導數求函數極值的方法步驟 ( 1 ) 求導數 f ′ ( x ) ； ( 2 ) 求方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的所有實數根； ( 3 ) 觀察在每個根 x0附近，從左到右導函數 f ′ ( x ) 的符號如何變化． ① 如果 f ′ ( x ) 的符號由正變負，則 f ( x0) 是極大值； ② 如果由負變正，則 f ( x0) 是極小值． ③ 如果在 f ′ ( x ) ＝ 0 的根 x ＝ x0的左右側 f ′ ( x ) 的符號不變，則 不是極值點． f′(x0)＝ 0是函數 f(x)在 x0處取得極值的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案 ] D [ 解析 ] 當 f ′ ( x ) ＝ 0 時，必須 f ′ ( x ) 在 x 0 的左右兩側異號才能在 x 0 處取得極值；反之，當函數 f ( x ) 在 x 0 處取得極值時，也可能 f ( x ) 在 x 0 處不存在導數，所以也不一定有 f ′ ( x 0 ) ＝ 0.
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