【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 | ，定義中的 “ 絕對(duì)值 ” 與 2 a ＜ |F1F2|不可忽視．注意：若 2 a ＝ |F1F2|，則軌跡是以 F1， F2為端點(diǎn)的兩條射線，若 2 a | F1F2|，則軌跡不存在． 若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支． 第 14講 │ 主干知識(shí)整合 ( 2) 第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且 “ 點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母 ” ，其商即是曲線的離心率e . 圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化 . 2 ． 焦半徑 ( 圓錐曲線上的點(diǎn) P 到焦點(diǎn) F 的距離 ) 的計(jì)算方法 利用圓錐曲線的第二定義 ， 轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離 ， 即焦半徑 r ＝ ed ， 其中 d 表示 P 到與 F 所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離 ． 第 14講 │ 主干知識(shí)整合 3 ． 焦點(diǎn)三角形 ( 橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形 )問題 常利用第一定義和正弦、余弦定理求解．設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn) P ( x0， y0) 到兩焦點(diǎn) F1， F2的距離分別為 r r2，焦點(diǎn) △ F1PF2的面積為 S ， ∠ F1PF2＝ θ ，則在橢圓x2a2＋y2b2＝ 1 中， ① θ ＝ a r c c o s??????2 b2r1r2－ 1 ，且當(dāng) r1＝ r2即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)， θ 最大為 θm a x＝ a r c c o sb2－ c2a2； ② S ＝ b2t a nθ2＝ c | y0| ，當(dāng) | y0| ＝ b 即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)， Sm a x的最大值為 bc ；對(duì)于雙曲線x2a2－y2b2＝ 1 的焦點(diǎn)三角形有： ① θ ＝ a r c c o s??????1 －2 b2r1r2； ② S ＝12r1r2s in θ ＝ b2c o tθ2. 第 14講 │ 主干知識(shí)整合 4 ． 弦長(zhǎng)公式 若直線 y ＝ kx ＋ b 與圓錐曲線相交于兩點(diǎn) A 、 B ，且 x1， x2分別為 A 、 B 的橫坐標(biāo)，則 |AB |＝ 1 ＋ k2|x1－ x2|，若 y1， y2分別為A 、 B 的縱坐標(biāo)，則 |AB |＝ 1 ＋1k2 |y 1 － y 2 |，若弦 AB 所在直線方程設(shè)為 x ＝ ky ＋ b ，則 |AB |＝ 1 ＋ k2| y1－ y2|. 注意：焦點(diǎn)弦 ( 過焦點(diǎn)的弦 ) 的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解． 第 14講 │ 主干知識(shí)整合 5 ． 常用的重要結(jié)論 ( 1) 雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的漸近線方程為x2a2 －y2b2 ＝ 0 ； ( 2) 以 y ＝ 177。bax 為漸近線 ( 即與雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 共漸近線 ) 的雙曲線方程為x2a2 －y2b2 ＝ λ ( λ 為參數(shù)， λ ≠ 0) ； ( 3) 中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 mx2＋ ny2＝ 1( mn ≠ 0) ； ( 4) 橢圓、雙曲 線的通徑 ( 過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦 ) 為2 b2a，焦準(zhǔn)距 ( 焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離 ) 為b2c，拋物線的通徑為 2 p ，焦準(zhǔn)距為 p ； 第 14講 │ 主干知識(shí)整合 ( 5) 橢圓、拋物線的通徑是所有焦點(diǎn)弦 ( 過焦點(diǎn)的弦 ) 中最短的弦； ( 6) 若拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) 的焦點(diǎn)弦為 AB ， A ( x1， y1) ， B ( x2，y2) ，則 ① |AB |＝ x1＋ x2＋ p ， ② x1x2＝p24， y1y2＝－ p2； ( 7) 若 OA 、 OB 是過拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) 頂點(diǎn) O 的兩條互相垂直的弦，則直線 AB 恒經(jīng)過定點(diǎn) (2 p, 0) ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 與圓錐曲線有關(guān)的定義問題 例 1 已知雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a ， b 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1， F2， P 為左支上一點(diǎn)， P 到左準(zhǔn)線的距離 d ，若 d 、 |PF1|、|PF2|成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是 ( ) A ． [ 2 ，＋ ∞ ] B ． (1 ， 2 ] C ． [1 ＋ 2 ，＋ ∞ ] D ． ( 1,1 ＋ 2 ] 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 ∵ | PF1|2＝ d | PF2| ， ∴| PF1|d＝| PF2|| PF1|＝ e ，即 | PF2| ＝ e | PF1| ① ， 又 | PF2| － | PF1| ＝ 2 a ② . 由 ①② 解得： | PF1| ＝2 ae － 1， | PF2| ＝2 aee － 1， 又在焦點(diǎn)三角形 F1PF2中： | PF1| ＋ | PF2| ≥ | F1F2| ， 即：2 a ? e ＋ 1 ?e － 1≥ 2 c ，即 e2－ 2 e － 1 ≤ 0 ， 解得： 1 － 2 ≤ e ≤ 1 ＋ 2 ，又 e 1 ， ∴ 1 e ≤ 1 ＋ 2 ，故選 D. 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查雙曲線的第二定義、性質(zhì)的應(yīng)用．在焦點(diǎn)三角形中無論是橢圓還是雙曲線都是通過 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ≥ | F 1 F 2 | 構(gòu)建不等式． 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如圖定點(diǎn) N ( 1,0) ，動(dòng)點(diǎn) A 、 B 分別在拋物線 y2＝ 4 x 及橢圓x24＋y23＝ 1 的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且 AB ∥ x 軸，則 △ N A B 的周長(zhǎng) l的取值范圍是 ( ) A.??????23， 2 B.??????103， 4 C.??????5116， 4 D ． ( 2,4) 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 B 【解析】 拋物線 y2＝ 4 x 的準(zhǔn)線方程為 x ＝－ 1 ； 橢圓x24＋y23＝ 1 的右準(zhǔn)線為 x ＝ 4 ， 則 |AN |＝ xA＋1 ， |BN |＝12( 4 － xB) ， 所以 △ N A B 的周長(zhǎng) l＝ |AN |＋ | BN |＋ |AB |＝3 ＋12xB. 由????? y2＝ 4 x ，x24＋y23＝ 1 ，得 x ＝23或 x ＝－ 6 ( 舍 ) ， 因此 xB∈??????23， 2 ，故選 B. 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如圖 所示 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 30176。 ， AB ，AC 邊上的高分別為 CD ， BE ， 則以 B ， C 為焦點(diǎn)且經(jīng)過 D 、 E 兩點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率的和為 ________ ． 2 3 【解答】 令 BC ＝ 2 c 則 |CD |＝ c ； |BD |＝ 3 c ；由橢圓的定義知： e1＝2 c2 a＝|BC ||CD |＋ |BD |＝2 cc ＋ 3 c＝ 3 － 1 ；同理由雙曲線的定義知： e2＝2 c2 a＝|BC ||BD |－ |CD |＝2 c3 c － c＝ 3 ＋ 1 ，因此 e1＋e2＝ 2 3 . 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過 A ( － 2,0) 、 B ( 2,0) 、 C??????1 ，32三點(diǎn)． ( 1) 求橢圓 E 的方程； ( 2) 若點(diǎn) D 為橢圓 E 上不同于 A 、 B 的任意一點(diǎn)， F ( － 1,0) ，H ( 1,0) ，當(dāng) △ D F H 內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)； ( 3) 若直線 l： y ＝ k ( x － 1) ( k ≠ 0) 與橢圓 E 交于 M 、 N 兩點(diǎn)，證明直線 AM 與直線 BN 的交點(diǎn)在直線 x ＝ 4 上． 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) 設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ) ，將 A ( － 2 , 0 ) 、B (2 , 0 ) 、 C??????1 ，32代入橢圓 E 的方程，得 ????? 4 m ＝ 1 ，m ＋94n ＝ 1 ，解得 m ＝14， n ＝13. ∴ 橢圓 E 的方程為x24＋y23＝ 1 ； (2 )| FH |＝ 2 ，設(shè) △ D FH 邊上的高為 h ， S△D F H＝12 2 h ＝ h ，當(dāng)點(diǎn) D 在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)， h 最大為 3 ，所以 S△D F H的最大值為 3 . 設(shè) △ D F H 的內(nèi)切圓的半徑為 R ，因?yàn)?△ D F H 的周長(zhǎng)為定值 6. 所以12R 6＝ S△D F H，所以 R 的最大值為33. 所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為??????0 ，33. 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 3) 法一：將直線 l： y ＝ k ( x － 1) 代入橢圓 E 的方程x24＋y23＝ 1并整理，得 (3 ＋ 4 k2) x2－ 8 k2x ＋ 4( k2－ 3) ＝ 0. 設(shè)直線 l與橢圓 E 的交點(diǎn) M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1＋ x2＝8 k23 ＋ 4 k2， x1x2＝4 ? k2－ 3 ?3 ＋ 4 k2. 直線 AM 的方程為 y ＝y(tǒng)1x1＋ 2( x ＋ 2) ，它與直線 x ＝ 4 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 P????????4 ，6 y1x1＋ 2，同理可求得直線 BN 與直線 x ＝ 4 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 Q????????4 ，2 y2x2－ 2. 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 下面證明 P 、 Q 兩點(diǎn)重合，即證明 P 、 Q 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等： ∵ y1＝ k ( x1－ 1) ， y2＝ k ( x2－ 1) ， ∴6 y1x1＋ 2－2 y2x2－ 2＝6 k ? x1－ 1 ?? x2－ 2 ? － 2 k ? x2－ 1 ?? x1＋ 2 ?? x1＋ 2 ?? x2－ 2 ? ＝2 k [2 x1x2－ 5 ? x1＋ x2? ＋ 8]? x1＋ 2 ?? x2－ 2 ?＝2 k??????8 ? k2－ 3 ?3 ＋ 4 k2－40 k23 ＋ 4 k2＋ 8? x1＋ 2 ?? x2－ 2 ?＝ 0 ，因此結(jié)論成立． 綜上可知，直線 AM 與直線 BN 的交點(diǎn)在直線 x ＝ 4 上． 第 14講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 法二：直線 AM 的方程為： y ＝y(tǒng)1x1＋ 2( x