【正文】 橢圓 E 上不同于 A 、 B 的任意一點， F ( － 1,0) ，H ( 1,0) ，當(dāng) △ D F H 內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)； ( 3) 若直線 l： y ＝ k ( x － 1) ( k ≠ 0) 與橢圓 E 交于 M 、 N 兩點，證明直線 AM 與直線 BN 的交點在直線 x ＝ 4 上． 第 14講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ) ，將 A ( － 2 , 0 ) 、B (2 , 0 ) 、 C??????1 ，32代入橢圓 E 的方程，得 ????? 4 m ＝ 1 ，m ＋94n ＝ 1 ，解得 m ＝14， n ＝13. ∴ 橢圓 E 的方程為x24＋y23＝ 1 ； (2 )| FH |＝ 2 ，設(shè) △ D FH 邊上的高為 h ， S△D F H＝12 2 h ＝ h ，當(dāng)點 D 在橢圓的上頂點時， h 最大為 3 ，所以 S△D F H的最大值為 3 . 設(shè) △ D F H 的內(nèi)切圓的半徑為 R ，因為 △ D F H 的周長為定值 6. 所以12R 6＝ S△D F H，所以 R 的最大值為33. 所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為??????0 ，33. 第 14講 │ 要點熱點探究 ( 3) 法一：將直線 l： y ＝ k ( x － 1) 代入橢圓 E 的方程x24＋y23＝ 1并整理，得 (3 ＋ 4 k2) x2－ 8 k2x ＋ 4( k2－ 3) ＝ 0. 設(shè)直線 l與橢圓 E 的交點 M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1＋ x2＝8 k23 ＋ 4 k2， x1x2＝4 ? k2－ 3 ?3 ＋ 4 k2. 直線 AM 的方程為 y ＝y(tǒng)1x1＋ 2( x ＋ 2) ，它與直線 x ＝ 4 的交點坐標(biāo)為 P????????4 ，6 y1x1＋ 2，同理可求得直線 BN 與直線 x ＝ 4 的交點坐標(biāo)為 Q????????4 ，2 y2x2－ 2. 第 14講 │ 要點熱點探究 下面證明 P 、 Q 兩點重合，即證明 P 、 Q 兩點的縱坐標(biāo)相等： ∵ y1＝ k ( x1－ 1) ， y2＝ k ( x2－ 1) ， ∴6 y1x1＋ 2－2 y2x2－ 2＝6 k ? x1－ 1 ?? x2－ 2 ? － 2 k ? x2－ 1 ?? x1＋ 2 ?? x1＋ 2 ?? x2－ 2 ? ＝2 k [2 x1x2－ 5 ? x1＋ x2? ＋ 8]? x1＋ 2 ?? x2－ 2 ?＝2 k??????8 ? k2－ 3 ?3 ＋ 4 k2－40 k23 ＋ 4 k2＋ 8? x1＋ 2 ?? x2－ 2 ?＝ 0 ，因此結(jié)論成立． 綜上可知，直線 AM 與直線 BN 的交點在直線 x ＝ 4 上． 第 14講 │ 要點熱點探究 法二：直線 AM 的方程為： y ＝y(tǒng)1x1＋ 2( x ＋ 2) ，即 y ＝k ? x1－ 1 ?x1＋ 2( x ＋2) ．直線 BN 的方程為： y ＝y(tǒng)2x2－ 2( x － 2) ，即 y ＝k ? x2－ 1 ?x2－ 2( x － 2) ． 由直線 AM 與直線 BN 的方程消去 y ，得 x ＝2 ? 2 x1x2－ 3 x1＋ x2?x1＋ 3 x2－ 4＝2 [ 2 x1x2－ 3 ? x1＋ x2? ＋ 4 x2]? x1＋ x2? ＋ 2 x2－ 4 ＝2??????8 ? k2－ 3 ?3 ＋ 4 k2－24 k23 ＋ 4 k2＋ 4 x28 k23 ＋ 4 k2－ 4 ＋ 2 x2＝4??????－4 k2＋ 63 ＋ 4 k2＋ x2－4 k2＋ 63 ＋ 4 k2＋ x2＝ 4. ∴ 直線 AM 與直線 BN 的交點在直線 x ＝ 4 上． 第 14講 │ 要點熱點探究 【點評】 在不明確焦點位置的情況下 ， 橢圓方程應(yīng)設(shè)為mx2＋ ny2＝ 1 ( m 0 ， n 0 ) ， 雙曲線方程設(shè)為 mx2＋ ny2＝1 ( m bax 為漸近線 ( 即與雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 共漸近線 ) 的雙曲線方程為x2a2 －y2b2 ＝ λ ( λ 為參數(shù)， λ ≠ 0) ； ( 3) 中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 mx2＋ ny2＝ 1( mn ≠ 0) ； ( 4) 橢圓、雙曲 線的通徑 ( 過焦點且垂直于對稱軸的弦 ) 為2 b2a，焦準(zhǔn)距 ( 焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離 ) 為b2c，拋物線的通徑為 2 p ，焦準(zhǔn)距為 p ； 第 14講 │ 主干知識整合 ( 5) 橢圓、拋物線的通徑是所有焦點弦 ( 過焦點的弦 ) 中最短的弦； ( 6) 若拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) 的焦點弦為 AB ， A ( x1， y1) ， B ( x2，y2) ，則 ① |AB |＝ x1＋ x2＋ p ， ② x1x2＝p24， y1y2＝－ p2； ( 7) 若 OA 、 OB 是過拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) 頂點 O 的兩條互相垂直的弦，則直線 AB 恒經(jīng)過定點 (2 p, 0) ． 要點熱點探究 第 14講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 與圓錐曲線有關(guān)的定義問題 例 1 已知雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a ， b 0) 的左、右焦點分別為F1， F2， P 為左支上一點， P 到左準(zhǔn)線的距離 d ，若 d 、 |PF1|、|PF2|成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是 ( ) A ． [ 2 ，＋ ∞ ] B ． (1 ， 2 ] C ． [1 ＋ 2 ，＋ ∞ ] D ． ( 1,1 ＋ 2 ] 第 14講 │ 要點熱點探究 【解析】 ∵ | PF1|2＝ d n ≤ | m || n | 可得 1 ＝c o s αa＋s in αb≤1a2＋1b2. 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 【點評】 本題主要考查了點與直線、直線與圓的位置關(guān)系．題目的設(shè)計新在涉及了解析幾何、三角函數(shù)、不等式等多個知識點，妙在直線方程中出現(xiàn)了分數(shù)系數(shù)，好在問題的解答途徑多種多樣．乍看是一個點與直線的位置關(guān)系及直線方程的問題，通過深入的研究，我們可以看出它在向縱深處考查學(xué)生． 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 4 ． M =??????? ? x ， y ?????? ??????????y ≥ 0 ，x ≥ 0 ，x ＋ y － 5 ≤ 0.， N ＝??????? ? x ， y ?????? ??????????y ≤ t，x ≤ 3 ，x ＋ y － 5 ≥ 0.， ( x ， y ) ∈ M ∪ N ，當(dāng) 2 x ＋ y取得最大值時， ( x ， y ) ∈ N ， ( x ， y ) ? M ，則實數(shù) t的取值范圍是 ________ ． 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 t 4 【解析】 如圖， M 、 N 表示的區(qū)域如圖所示，顯然最優(yōu)解在 C 處取得，過 A 作斜率為－ 2 的直線交直線 BC 于 F ，則 C應(yīng)在點 F 上方，可求得 F ( 3,4 ) ， ∴ t 4. 規(guī)律技巧提煉 第 13講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．求直線方程或斜率等問題要注意分析條件，選擇適當(dāng)?shù)姆匠棠Ｐ停浞挚紤]各種情況 ( 特別是斜率不存在的情況 ) ，防止漏掉直線，求方程的方法主要有待定系數(shù)法、相關(guān)點法；在判斷關(guān)系時除用斜率判斷之外，還要注意向量法的利用． 2 ．線性規(guī)劃幾乎每年必考一題，目標(biāo)函數(shù)有截距型、距離型、斜率型等，要注重線性規(guī)劃的應(yīng)用，還有一些類似線性規(guī)劃的創(chuàng)新題． 第 13講 │ 規(guī)律技巧提煉 3 ．圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相交結(jié)合垂徑定理建構(gòu)直角三角形，此類題大多都是中、低檔題，以選擇、填空題的形式出現(xiàn)． 4 ．求解直線與圓方程的綜合題，不僅要注意利用圓的平面幾何知識，而且還要注意綜合運用方程、函數(shù)、三角、不等式等方面的知識解決問題． 第 14講 │ 圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 第 14講 圓錐曲線的定義、 標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 主干知識整合 第 14講 │ 主干知識整合 1 ． 圓錐曲線的兩個定義 ( 1) 第一定義中要重視 “ 括號 ” 內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點 F1， F2的距離的和等于常數(shù) 2 a ，且此常數(shù) 2 a 一定要大于 |F1F2|，當(dāng)常數(shù)等于 |F1F2|時，軌跡是線段 F1F2，當(dāng)常數(shù)小于|F1F2|時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點 F1， F2的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2 a ，且此常數(shù) 2 a 一定要小于 |F1F2| ，定義中的 “ 絕對值 ” 與 2 a ＜ |F1F2|不可忽視．注意：若 2 a ＝ |F1F2|，則軌跡是以 F1， F2為端點的兩條射線，若 2 a | F1F2|，則軌跡不存在． 若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支． 第 14講 │ 主干知識整合 ( 2) 第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線，且 “ 點點距為分子、點線距為分母 ” ，其商即是曲線的離心率e . 圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化 . 2 ． 焦半徑 ( 圓錐曲線上的點 P 到焦點 F 的距離 ) 的計算方法 利用圓錐曲線的第二定義 ， 轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離 ， 即焦半徑 r ＝ ed ， 其中 d 表示 P 到與 F 所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離 ． 第 14講 │ 主干知識整合 3 ． 焦點三角形 ( 橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形 )問題 常利用第一定義和正弦、余弦定理求解．設(shè)橢圓或雙曲線上的一點 P ( x0， y0) 到兩焦點 F1， F2的距離分別為 r r2，焦點 △ F1PF2的面積為 S ， ∠ F1PF2＝ θ ，則在橢圓x2a2＋y2b2＝ 1 中， ① θ ＝ a r c c o s??????2 b2r1r2－ 1 ，且當(dāng) r1＝ r2即 P 為短軸端點時， θ 最大為 θm a x＝ a r c c o sb2－ c2a2； ② S ＝ b2t a nθ2＝ c | y0| ，當(dāng) | y0| ＝ b 即 P 為短軸端點時， Sm a x的最大值為 bc ；對于雙曲線x2a2－y2b2＝ 1 的焦點三角形有： ① θ ＝ a r c c o s??????1 －2 b2r1r2； ② S ＝12r1r