【正文】 ? ? 32EEy kx k? ? ? ……… 8 分 又直線 AF 的斜率與 AE 的斜率互為相反數(shù)，在上式中以 — K 代 K，可得 2234 ( ) 1 22x 34F k k??? ? 32EEy kx k? ? ? ? 所以直線 EF 的斜率 ( ) 2 12F E F EEF F E F Ey y k x x kK x x x x? ? ? ?? ? ??? 即直線 EF 的斜率為定值，其值為 12 。 分析： 第一問中，知道焦點(diǎn)，則 ，再根據(jù)過 點(diǎn) A，通過解方程組，就可以求出 ，求出方程。 練習(xí) ： （ 2022遼寧卷文 、理 ） 已知，橢圓 C以過點(diǎn) A（ 1， 32 ），兩個(gè)焦點(diǎn)為（－ 1， 0）（ 1，0）。否則，大家很容易陷入繁雜的運(yùn)算中，并且算錯(cuò)，費(fèi)時(shí)耗精力，希望同學(xué)們認(rèn)真體 會(huì)其中的精髓。 從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設(shè) 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，直線 1AM 的斜率為 1k ,則直線 1AM 的方程為 1( 2)y k x??，由 122( 2)14y k xx y????? ????消 y 整理得 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ? 12 x?和 是方程 的兩個(gè)根 211 2116 42 14kx k??? ? ? 則 211 212814kx k?? ?， 11 21414ky k? ?， 即點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 211222 8 4( , )1 4 1 4kk??? 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 17 同理，設(shè)直線 A2N 的斜率為 k2，則得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2) , ( 2)ppy k t y k t? ? ? ? 12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)代入，化簡后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦點(diǎn)為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當(dāng) 433t? 時(shí)， MN 過橢圓的焦點(diǎn)。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點(diǎn) T,點(diǎn) P 為直線 l 上異于點(diǎn) T 的任一點(diǎn)，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、 N 點(diǎn)，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論?？傊?，本題有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo) 是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時(shí)間的目的。 接下來，如果分別利用直線 PC、 QC的方程 通過坐標(biāo)變換法 將點(diǎn) P、 Q的縱坐標(biāo)也求出來，計(jì)算量 會(huì)增加許多 。 方法總結(jié) ： 本題第二問中，由“直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 3x? 對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線 PC的斜率為 k，就得直線 QC的斜率為 k。 解： (I) 2BC AC? ，且 BC 過橢圓的中心 O OC AC?? 0AC BC ? 2ACO ??? ? 又 A (2 3,0) ?點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ( 3, 3) 。 例題 已知點(diǎn) A、 B、 C 是橢圓 E： 221xyab?? ( 0)ab?? 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A(2 3,0)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線 BC 過橢圓的 中心 O，且 0AC BC? ， 2BC AC? ，如圖。其實(shí)解析幾何就這么點(diǎn)知識， 你發(fā)現(xiàn)了嗎？ 題型四： 過 已知曲線上 定點(diǎn)的弦的 問題 若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 14 標(biāo)，進(jìn)而解決問題。 名師指點(diǎn)： 這個(gè)題是課本上的很經(jīng)典的題， 例題 （ 07 山東理）就是在這個(gè)題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時(shí)，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取 140 多分，應(yīng)該不成問題。 分析： 以 AB 為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn) O，則 OA? OB，若設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則1 2 1 2 0x x y y??，再通過 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )y y k x m k x m k x x m k x x m? ? ? ? ? ? ? ? ?，將條件轉(zhuǎn)化為 221 2 1 2( 1 ) ( ) 0k x x m k x x m? ? ? ? ?，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計(jì)算判別式后，可以得到 12xx ， 12xx? ，解出 k、 m 的等式，就可以了。直線不溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 13 過定點(diǎn)，也不知道斜率，設(shè)出 mkxyl ??： ，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。 分析： 第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問， 直線 mkxyl ??： 與橢圓C 相交于 A， B 兩點(diǎn) ，并且橢圓的右頂點(diǎn)和 A、 B 的連線互相垂直，證明 直線 l 過定點(diǎn) ，就是通過垂直建立 k、 m 的一次函數(shù)關(guān)系。 例題 （ 07 山東理） 已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3；最小值為 1； （Ⅰ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線 mkxyl ??： 與橢圓 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)（ A， B 不是左右頂點(diǎn)），且以AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點(diǎn) 。 另外：也可以直接設(shè) P(t， y0)，通過 A1， A2的坐標(biāo)寫出直線 PA1， PA2 的直線方程，再分別和橢圓聯(lián)立 ，通過韋達(dá)定理求出 M、 N 的坐標(biāo)，再寫出直線 MN 的方程。 不過如果看到：將 211 2116 42 14kx k????中的 12kk用 換下來， 1x 前的系數(shù) 2用－ 2換下來，就得點(diǎn) N 的坐標(biāo) 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk????，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少 ， 這樣真容 易出錯(cuò)， 但這樣減少計(jì)算量 。 從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設(shè) 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，直線 1AM 的斜率為 1k ,則直線 1AM 的方程為 1( 2)y k x??，溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 10 由 122( 2)44y k xxy???? ??? 消 y 整理得 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ? 12 x?和 是方程的兩個(gè)根 ， 211 2116 42 14kx k??? ? ? 則 211 212814kx k?? ?， 11 21414ky k? ?， 即點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 211222 8 4( , )1 4 1 4kk???， 同理，設(shè)直線 A2N 的斜率為 k2，則得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2) , ( 2)ppy k t y k t? ? ? ? 12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)代入，化簡后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦 點(diǎn)為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當(dāng) 433t? 時(shí)， MN 過橢圓的焦點(diǎn)。 動(dòng)點(diǎn) P 在直線 : ( 2)l x t t??上，相當(dāng)于知道了點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)了，由直線 PA PA2的方程可以求出 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系， 通過所求的 M、 N 點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線 MN 的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的 t2，就可以了，否則就不存在。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點(diǎn) T,點(diǎn) P 為直線 l 上異于點(diǎn) T 的任一點(diǎn)，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、 N 點(diǎn)，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。下面我們就通過幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。 題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題 圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西， 其中一些性質(zhì) 是 和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對這樣的一些性質(zhì)，我們必須了如指掌，并且必須會(huì)證明 。 老師提醒： 通過以上 2 個(gè)例題和 2 個(gè)練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對稱問題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式 得不等式，由韋達(dá)定理得出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步是利用 垂直關(guān)系，得出斜率之積為 1，或者是利用 中點(diǎn)坐標(biāo) 和對稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問題。 由韋達(dá)定理得： 221 2 1 25 0 1 2 5 2 0,4 5 4 5kkx x x x ?? ? ???， 則 22120 0 02 2 22 5 2 5 2 0, ( 5 ) ( 5 )2 4 5 4 5 4 5xx k k kx y k x kk k k? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?， M( 222545kk?，22045kk? ?)。設(shè)直線 l 的方程為： ( 5), ( 0)y k x k? ? ?， C 11( , )xy 、 D 22( , )xy ， CD 的中點(diǎn) M 00( , )xy 。 練習(xí) 設(shè) 1F 、 2F 分別是橢圓 22154xy??的左右焦點(diǎn)．是否存在過點(diǎn) (5,0)A 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C、 D，使得22F C F D?？若存在，求直線 l 的方程；若不存在，請說明理由． 分析 ：由22F C F D?得，點(diǎn) C、 D 關(guān)于過 2F的直線對稱，由直線 l 過 的定點(diǎn) A(5,0)不在22154xy??的內(nèi)部，可以設(shè)直線 l 的方程為：( 5)y k x??，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率 k 的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦 CD 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)，由點(diǎn)M 和點(diǎn) F1 的坐標(biāo)，得斜率為 1k? ，解出 k 值，看是否在判別式的取值范圍內(nèi)。本題解決過 程中運(yùn)用了兩大解題技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換 技巧 ，與點(diǎn)的縱 、橫坐標(biāo)有關(guān)的 同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換 技巧 。 （ Ⅱ ） 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y， 弦 MN 的中點(diǎn) A 00( , )xy 由223 4 12y kx mxy???? ??? 得： 2 2 2( 3 4 ) 8 4 12 0k x m k x m? ? ? ? ?， 直線 )0(: ??? kmkxyl 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) ， 2 2 2 264 4( 3 4 ) ( 4 12) 0m k k m? ? ? ? ? ? ?，即 2243mk????????（ 1） 由韋達(dá)定理得： 21 2 1 2228 4 1 2,3 4 3 4m k mx x x xkk ?? ? ? ???， 則 20 0 02 2 24 4 3,3 4 3 4 3 4m k m k mx y k x m mk k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?， 直線 AG 的斜率為： 2223243441 32 3 43 4 8AGmmkKmk m k kk???? ? ????， 由直線 AG 和直線 MN 垂直可得：224 13 2 3 4m km k k ??? ? ?，即 2348 km k? ，代入（ 1）式，可得 2 2234( ) 4 38 k kk? ??，即 2 120k ? ，則 5510 10kk? ? ?或 。 第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過 判別式得出 ,km的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出 弦 MN 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn) )0,81(G ，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為 1，可得 ,km的等式，用 k 表示 m 再代入不等式 ， 就可以求出 k 的取值范圍。 （ Ⅰ ）求橢圓方程； （ Ⅱ ）若直線 )0(: ??? kmkxyl 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M 、 N ，且線段 MN 的垂直平分線過定點(diǎn) )0,81(G ，求 k 的取值范圍。 直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。 技巧提示 ： 直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率 k，利用韋達(dá)定理 ，將弦的中點(diǎn)用 k 表示出來，