實(shí)變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案(編輯修改稿)
2025-07-19 17:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 零測集，證明：不可測. 證明：，.，這與不可測矛盾.故不可測. ，若閉集是否也是零測集. 解：不一定，例如： 是中的有理數(shù)的全體..,但. ：若是可測集，則，存在型集，型集，使， 證明：由P51的定理2，對于，存在型集，.則..即，.再由定理3， ：有界集可測當(dāng)且僅當(dāng)，存在開集，閉集，使得. 證明：，由已知，存在開集，閉集使得.令，則.，.所以，.即是零測集，可測.從而，可測 設(shè)是有界可測集 因?yàn)椋?，存在開長方體序列，. 另一方面，由得有界性，. 由得有界可測性，= 令，則是一個閉集，并且由，有.因此，從而，存在開集，. 由的任意性知，.，位于軸上的任意集，因此，為零測集. ：若是單調(diào)增加集列（不一定可測）且，則 證明：，即，有界并且故，存在并且 下證：. 由于有界，可作一個開長方體，有，.,因?yàn)椋瑸殚_長方體}.故，存在開長方體序列使得，且. 令，則為有界開集，且，. ，則由知， 是單調(diào)遞增的可測序列，由P46的定理4，.又由，.，即得.從而，. ：中的集類具有連續(xù)勢. 證明：為了敘述方便，我們僅以為例進(jìn)行證明： 用表示上的開區(qū)間，；表示所有閉集；和分別表示所有的型集，所有型集. 因?yàn)?，又因?yàn)?. 又因?yàn)?，? 故. 又定義：，, .即，.同理，. “差”運(yùn)算可以化成“交”運(yùn)算，例如： .因此，中的每個元都是中可數(shù)元的并，. 從而，.即，上集的全體的勢為. ，都可找到完備集，使得. ：只要，就一定可以找到，使對，有. 證明：設(shè)，.首先將劃分成可數(shù)邊長為的左開右閉的維長方體.，. 因，，其中，又由，.故，所以，有. 這樣下去得一個單調(diào)遞減的可測集列 ，其中：，.記，故閉集列單調(diào)遞減且，.由閉集套定理，. 對于，因，取，故. ，：也可測，且. 證明：（1）先證： 因?yàn)?，為開長方體，對于開長方體序列，若，則，也是開長方體序列，且=.，為開長方體. 另一方面，因?yàn)?，?.由得任意性，知.從而 （2）再證：可測 事實(shí)上，，由得可測性，.故，.. 因此，當(dāng)可測時，. 下面是外測度的平移不變性定理. 定理（平移不變性）設(shè)， 證明：當(dāng)是中開長方體時也是一個開長方體，且其相應(yīng)的邊均相同，故. 如果是中的任意點(diǎn)集，對于德任意由開長方體序列構(gòu)成的覆蓋，也是，且仍是開長方體序列，故.所以，為開長方體=.即. 下證： 令，由上面的證明知，.所以.從而，. ，.是零測集，證明：也是零測集.證明：設(shè)，（1）當(dāng)時，當(dāng)，則存在開區(qū)間到使得，..所以.第三章習(xí)題參考解答 ，證明：，是可測集. 解：，因?yàn)槭巧系目蓽y，所以與 可測. ，證明：在上的可測當(dāng)且僅當(dāng)對一切有理數(shù)，是可測集. 證：，取單調(diào)遞減的有理數(shù)序列使得，}的可測性，知，在上的可測. 設(shè)在上的可測，即，當(dāng)時有理數(shù)時，可測. 3. 設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：對于任意的常數(shù)，是上的可測函數(shù). 為證上述命題，我們先證下面二命題： ，則，有 證明：當(dāng)時，因?yàn)椋?因?yàn)?，為開區(qū)間.,存在開區(qū)間序列，.又因?yàn)椋ㄗⅲ喝簦瑒t. ，有為開區(qū)間 故存在開區(qū)間，使，，有 從而. ，則可測，可測.(). 證：是直接的，我們僅需證明 ，如果，. 事實(shí)上，對于，則，因?yàn)樵诳蓽y，所以，即 即可測. ，證明：對于任意常數(shù)，仍是上的可測函數(shù). 解：記，對于，當(dāng)時，.故可測所以：可測. 當(dāng)時，令，則=.在 因?yàn)樵诳蓽y，故可測，又由命題2，. ，證明：在上可測. 證明：，. ，試證它在整個閉區(qū)間上也可測. 證明：，在上可測，記，則. 又因?yàn)椋?由每個的可測性，.令，即. 故可測，從而在上可測. ，證明： （i）對上的任意開集，是可測集； (ii) 對中的任何開集，是可測集； （iii）對中的任何型集或型集，是可測集. 證：（i）當(dāng)時中有界開集時，由第一章定理11（），是至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并，即. 由在上哦可測性，知：每個可測，從而可測. 若是的誤解開集，記，則是中有界開集，且，知可測. (ii) 設(shè)是中的任一閉集，記是中開集.=，即 . 由與得可測性，知，可測. （iii）設(shè)， ，存在開
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