泛函分析第4章內(nèi)積空間(編輯修改稿)
2025-07-13 12:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，有現(xiàn)在設(shè)為任意自然數(shù)，則再注意，令，即得等式.最后證明惟一性。若，也滿足定理結(jié)論，且則因（），令。注：在為空間時，可確定一個有到內(nèi)的映射。但在一般情況下，不能斷定映射是滿射。因此不一定為由到上的一一映射。在維空間中，標準直交基（直角坐標系）的極大性是至關(guān)重要的，對此我們有如下推廣?！尽?設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，若對任意，有，則必，我們就稱是完全的?！尽浚ǎ?設(shè)是空間中一個標準直交系，則一下的命題等價：（1）是完全的；（2）對任意，成立等式，其中，；（3）對任意，有，其中，；（4）對任意兩個元素有證明：（1）（2）.設(shè)是完全的，對任意，記，，惟一存在，使得且成立因為，則，.由于是完全的，于是必有，因此有，命題（2）成立。（2）（3）.現(xiàn)在假設(shè)命題（2）成立，任意取，令，，則有即得，于是命題（3）成立。（3）（4）.現(xiàn)在假設(shè)命題（3）成立，任意取，令，則有，.于是可得即命題（4）成立。（4）（1）.現(xiàn)在假設(shè)命題（4）成立，取，若，此時任取，有，即，故，因此命題（1）成立。證畢。注：若空間存在的標準直交系，則任意，有，映射是由到上的一個等距同構(gòu)映射，故與的等距同構(gòu)。 以下的定理在判別某標準直交系的完全性時是經(jīng)常有用的。【】 設(shè)是空間中一個標準直交系，如果等式在中某稠密子集上成立，則是完全的。證明： ，則是的閉線性子空間。任，令，則由假設(shè)成立，（2）（3）之證明得，則，任，有，且，.（3）成立推得則是完全的。證畢。例 中三角函數(shù)系是完全的。 因為取在中稠密。對任意三角多項式不難驗證成立等式。 ，對任意，其中級數(shù)，有由線性代數(shù)及解析幾何的知識，我們知道直交組比一般的線性無關(guān)組的性質(zhì)更為優(yōu)越，若某向量可用標準直交組線性表示，其組合系數(shù)有內(nèi)積容易求出，十分方便。以下介紹一個得到標準直交系的常用的方法。對內(nèi)積空間中已知的某線性無關(guān)序列，通過標準直交化過程可獲得一個標準直交系。其過程如下：第一步，把標準化，令第二步，在上的投影為，由投影定理，記，線性無關(guān)，則，此時令不難看出有第三步，記，在上的投影為，依據(jù)投影定理，記，則，因為，線性無關(guān)，則，此時令且易知于是歸納有第步，記，在上的投影為，并根據(jù)投影定理，記，則，又因為，線性無關(guān)，則，此時令則易知于是以上程序無限進行下去，即得一個標準直交系.。因是可分的（即存在有限或可列稠密子集），則也是可分的。相反地，我們有如下定理。【】 設(shè)是空間，則（1） 若是可分的，則必有至多可列的完全的標準直交系；（2） 設(shè)是無限維的可分空間，則的每個完全的標準直交系都是可列集。證明： 由于存在有限或可列（也稱為至多可列）個元素，使，且不妨設(shè)為線性無關(guān)集合。由標準直交化程序，可構(gòu)造出對于的（等勢的），則有，故有從而有于是必有故是完全的。（1）證畢。又X存在可列稠密子集D，任取X一個完全標準直交系M，則M是一個無限集。任取，M，且，都有記 ， 則。由于在中稠密，則存在，有。于是的勢大于的勢。因而必是可列集。證畢。 1. 在內(nèi)積空間中，試給出一個使不等式成為嚴格不等式的例子。2. 設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，求證對任意，有3．設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，給定，令，則對任意，求證：（1） 使成立不等式的僅有有限個；（2） 設(shè)的個數(shù)為，則有。4．在中，試將，標準直交化。5．求，使取最小值。6．設(shè)是空間中一個標準直交系，若，有， 求證：（1） ；（2）級數(shù)是絕對收斂的。7．設(shè)是空間中一個標準直交系，給定，若，求證且有。8．設(shè)是空間中一個完全標準直交系，試問是否每個都可用 線性表示。9設(shè)是空間中一個標準直交系，任意，求證在中收斂，并且與每個直交。 在理論及應(yīng)用中,對一個具體的賦范線性空間來說,往往要和它的共軛空間結(jié)合一起來研究。為此,知道有界線性泛函的一般形式,自然是十分重要的。對于一般賦范線性空間,獲得這種表示是相當困難的。但對于空間,情況卻非常簡單。 定理 【】 設(shè)是空間，對于每個，惟一存在，使任意，有并且還有證明：若為零泛函，則取中零元素即可?，F(xiàn)在設(shè)，令為的零空間。因是連續(xù)線性泛函，則是的閉子空間。因，則必有為的真子空間。由投影定理，必定有且。所以任取，因為則。于是有從而得。此時令，即有存在性得證。現(xiàn)在證明由惟一確定。如果還有，使于是有，即，所以，惟一性得證。最后證明。當，事實明顯。現(xiàn)在設(shè)，則。首先由不等式有，于是推得；另一方面，取，又有于是推知。因此必成立。定理證畢。注：。現(xiàn)在要說明它是一一映射。因為任意取定元素，則確定上一個泛函為，由內(nèi)積的性質(zhì)可知是線性的。再由不等式，有，因而是有界泛函，且，故。，可推知。于是可得以下的由到上的映射是個一一映射：，使。任取復數(shù)及元素，令，則對任意，有即有因此稱為復共軛線性映射，并且有即是一個等距映射（或稱為保范映射）。故稱映射是到上的復共軛等距映射。在這種意義下，認為元素與對應(yīng)的泛函是一致的，即。因此，稱為自共軛空間（必須注意是在復共軛等距同構(gòu)意義下）。 空間上的共軛算子我們曾在第3章討論過賦范線性空間上的共軛算子問題。現(xiàn)在我們利用空間與共軛空間的一致化，引入所謂空間上的共軛算子概念。這類算子是在研究矩陣及線性微分（或積分）方程的問題中提出來的，有著廣泛的應(yīng)用?！尽?設(shè)和是兩個內(nèi)積空間，是一個有界線性算子。又設(shè)是有界算子，若對任意的，都有就稱是的共軛算子（或伴隨算子）。 注：在復空間情況下，設(shè)及復數(shù)，按第3章所述定義，有
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