【文章內(nèi)容簡介】 （ 3） （ 4） 的充分必要條件是 （ 5） A, , , ,T H T HA A I A I A I A? ? ?( ) ( ) 0A I A I A A? ? ? ?( ) ( )N A R I A??A x x? ()x R A?1 ( ) ( )nC R A N A? ??定理： 設(shè) 是一個秩為 的 階矩陣，那么 為一個冪等矩陣的充分必要條件是存在 使得 推論 ：設(shè) 是一個 階冪等矩陣，則有 定義 ：設(shè) 為一個 維標準正交列向量組，那么稱 型矩陣 A nrAnnnPC??1 rIOP A POO? ???????( ) ( )T r A Rank A?A n? ?12, , , r? ? ? nnr?? ?1 1 2, , , rU ? ? ??為一個 次酉矩陣 。一般地將其記為 定理 ： 設(shè) 為一個 階矩陣，則 的充分必要條件是存在一個 型次酉矩陣 使得 其中 。 A n2HA A A??nr?1nrrUU??1nrrUU??11HA U U?()r R an k A?引理 ： 的充分必要條件是 證明 ：設(shè) ，那么 1nrrUU??11HrrU U I ??? ?1 1 2, , , rU ? ? ??121()()()TTHTrU??????????????????必要性：如果 為一個 維標準正交列向量組，那么 ? ?12, , , r? ? ? n? ?121 1 1 21 1 1 2 12 1 2 2 212()(), , ,()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )TTHrTrT T TrT T TrT T Tr r r rUU??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???????????????????????????????111rrI???????????????充分性：設(shè) ， 那么由 ，可得 ? ?1 1 2, , , rU ? ? ??11HrrU U I ??? ?12121 1 1 2 12 1 2 2 212()(), , ,()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )TTrTrT T TrT T TrrrT T Tr r r rI??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????????????????????????????即 這表明 是一個 維標準正交列向量組。 定理的證明 ： 必要性：因 ，故 有 個線性無關(guān)的列向量，將這 個列向量用 Schmidt方法得出 個兩兩正交的單位向量，以這 個向量為列構(gòu)成一個 型次酉矩陣 1( , ) ( ) {0Ti j j iijij? ? ? ?????? ?12, , , r? ? ? nr a nkrA? A rrr rnr?Ar 。注意到 的 個列向量都可以由 的 個列向量線性表出。即如果 那么可得 nU? ?1212[ , , , ] , , ,nrrrnUUA? ? ?? ? ?????nrrUU ??1 2 1 211 21 112 22 212[ , , , ] [ , , , ]nrnn Hr r nrAC C CC C CUVC C C? ? ? ? ? ????????????????其中 11 12 121 22 212rr nrn n nrC C CC C CVCC C C???????????????，由于向量組 的秩為 ，所以 的秩為 。 rr12, , , n? ? ?HV下面證明 。 由 可得 ，即 注意到 ，所以 VU?2HA A A?? HA A A?H H HUV VU UV?HrrU U I ??HHU V V V?即 因為 ，所以 ，這樣得到 于是 ( ) 0HU V V??r a nk ( )HVr? r a n k ( ) 0UV??UV?HA UU?充分性：若 ，則 HA UU? 2HA A A??第六節(jié) Schur引理與正規(guī)矩陣 定義： 設(shè) ，若存在 ，使得 則稱 酉相似 (或 正交相似 )于 定理 (Schur引理 )： 任何一個 階復(fù)矩陣 酉相似于一個上 (下 )三角矩陣。 , ( )n n n nA B C R??? 或 nnUU ??()nnE ?或11 ()HTU AU U AU B U AU U AU B??? ? ? ?或A BAn證明： 用數(shù)學(xué)歸納法。 的階數(shù)為 1時定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè) 的階數(shù)為 時定理成立，考慮 的階數(shù)為 時的情況。 取 階矩陣 的一個特征值 ，對應(yīng)的單位特征向量為 ，構(gòu)造以 為第一列的 階酉矩陣 ， AAA1k ?kkkA1? 1?1?1 1 2[ , , , ]kU ? ? ??1 1 21 1 2[ , , , ][ , , , ]kkA U A A AAA? ? ?? ? ? ???因為 構(gòu)成 的一個標準正交基，故 12, , , k? ? ?kC1( 2 , 3 , , )ki i j jjA a i k??????，因此 1 21 31 11 1 210[ , , , ]0kka a aAUA?? ? ??????????其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足 1k ?1k ?1AW11HW A W R?(上三角矩陣 ) 令 那么 21 kkUUW?????????1 21 12 1 1 2100kHHbbU U AU UR??????????????注意 : 等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣 的全部特征值 . 定理 (Schur不等式 ): 設(shè) 為矩陣 的特征值 , 那么 例 : 已知矩陣 A12, , , ,nnnAC ? ? ???A221,ni iji i ja?????3 0 83 1 62 0 5A??????????????試求酉矩陣 使得 為上三角矩陣 . 解 : 首先求矩陣 的特征值 U HU A UA3( 1 )IA??? ? ?所以 為矩陣 的三重特征值 . 當 時 , 有單位特征向量 再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個單位解向量 1? ?? A1? ?? A12 1 1,666T????? ????1 2 320x x x? ? ? ?2333,333T???? ????再解與 內(nèi)積為零的方程組 求得一個單位解向量 取 12,??1 2 31 2 3200x x xx x x? ? ? ?? ? ?3220 , ,22T????? ????1230361 3 23261 3 2326U??????????? ????????????計算可得 117 2 7 31235604356062HU AU?? ???????????????? ????????令 156435662A???????????????再求矩陣 的特征值 所以 為矩陣 的二重特征值 . 當 時 , 有單位特征向量 1A21 ( 1 )IA??? ? ?1? ??1A1? ??1A11 0 1 5,55T????? ????再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個單位解向量 1210 15 0xx? ? ?21 5 1 0,55T???? ????取 計算可得 11 0 1 5551 5 1 055V??????????????1 1 12 5 61601HV A V?? ????????????21 0 010 1505515 10055U????????????????????令 于是有 122 30 515 561 300661 30 2 530 56W U U???????????