euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫(huà)及推廣(編輯修改稿)
2024-09-24 18:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???? ?? 11, ( )nni i j ji j rkf? ? ?? ? ?? ?? , fxy? 其中1 ()nf i iiry f V???????.再由引理 3 知唯一性成立，定理得證 . 通過(guò)定理 2，我們知道，對(duì)于有限維的 Euclid 空 間上的線性泛函都能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，而對(duì)于更一般的情形（對(duì)整個(gè) Euclid 空間的維數(shù)不加限制），我們先從下面的引理開(kāi)始探討 . 引理 4 設(shè) V 是 Euclid 空間， xV? ，則由 x 生成的子空間 ()Lx 是 V 的閉子空間 . 證明 當(dāng) ()Lx 的聚點(diǎn)集 39。()Lx?? 時(shí)，結(jié)論顯然成立，下面不妨設(shè) 39。()Lx?? ，這時(shí) 0x? ，否則 ( ) {0}Lx? 是孤立點(diǎn)集，從而 39。()Lx?? ，矛盾 . 現(xiàn)設(shè) 39。0 ()x Lx? ，則有 ()Lx 中的點(diǎn)列 {}nx ，有0lim nn xx??? ?，則 0???， N ?? ?? ，對(duì) n? ， mN? ，有 nmx x x ??? ， （ 1） 由于 nx ()Lx? ，故 nkR??，使得 nnx kx? ， 1n? ， 2 ， ，將此代入（ 1）得到 nmkk???， （ 2） 7 所以根據(jù) Cauchy 收斂準(zhǔn)則知數(shù)列 {}nk 收斂，設(shè)0lim nn kk??? ?，則 0???， 39。N ?? ?? ，使得 39。nN?? ，有0 1nkk x ???，于是 39。nN?? ，有 0 0 0n n n nx k x k x k x k k x ?? ? ? ? ? ?， 即0lim nn x k x??? ?，故 00 ()x k x L x?? ，所以 ()Lx 是 V 的閉子空間 . 引理 5 W 是 Euclid 空間 V 的閉子空間，則 ()WW??? . 證明 xW?? ， yW??? ，有 ( , ) 0xy? ，則 ()xW??? ，所以 ()WW??? ，下面只須證 ()WW??? 即可 . ()xW???? ，由于 W 是 Euclid 空間 V 的閉子空間，故根據(jù)引理 1 和引理 2知存在 ()y W W ???? 及 zW?? ，使得 x y z??，由于 ()W?? 是線性子空間，因此()z x y W ??? ? ? ，從而 ( ) { 0}z W W? ? ???，即 0z? ，所以 x y W?? .這就證明了 ()WW??? . 經(jīng)過(guò)前面的準(zhǔn)備下，我們就可以得到以下定理 . 定理 3 設(shè) f 是 Euclid 空間 V 上的線性泛函，則下列條件是等價(jià)的： 1）存在唯一的 fyV? ，使得 xV?? ，有 ( ) , ff x x y? ； 2） 0f? 或 dim ( ) 1Nf? ? ； 3） ( ) ( )V N f N f ???. 證明 1） ?2） 若 fyV??，使得 xV?? ，有 ( ) , ff x x y? ，則 當(dāng) 0fy ? 時(shí)， 0f? ，下設(shè) 0fy ? . ()x N f?? ，有 : , ( ) 0fx y f x??，從而 : ()fx L y? ，即 ()fx L y ?? ，所以 ( ) ( )fN f L y ?? ；反之 ()fx L y ??? ，有 : ( ) , 0ff x x y??，即 ()x N f? ，于是 ( ) ( )fL y N f? ? .因此 ( ) ( )fN f L y ?? . 再根據(jù)引理 3 和引理 4 知 ( ) ( ( ) ) ( )ffN f L y L y? ? ???，由于 0fy? ，所以dim ( ) 1Nf? ? . 2） ?3） 8 當(dāng) 0f? 時(shí)， ()N f V? ，此時(shí) 3）顯然成立； 當(dāng) dim ( ) 1Nf? ? 時(shí)，則 ()Nf? ??? ， 0?? ，使 ( ) ( )N f L ?? ? .由于 0?? ，故 ()Nf?? ，所以 ( ) 0f ? ? ，于是 xV?? ，令 ()()fxy f ???，則有 ()x x y y???，其中 ()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0()fxf x y f x f y f x ff ??? ? ? ? ? ? ? 因此 ()x y N f?? ，而 () ()()fxy N ff ?? ???，所以 ( ) ( )V N f N f ???. 3） ?1） 若 0f? ，則令 0fy ? ，結(jié)論自然成立 . 若 ( ) ( )V N f N f ???，且 0f? ，則 ??( ) 0Nf? ? ，于是可設(shè) 0 0y? ，0 ()y N f ?? ，對(duì)任何 xV? ，令 00( ) ( )v f x y f y x??，則 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f v f x f y f y f x???， 即 ()v N f? . ? 0 0 0 0 0 0 0 00 , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,v y f x y f y x y f x y y f y x y? ? ? ? ?， 由于 00,0yy? ，所以 00000 0 0 0( ) ( )( ) , , ( , )f y f yf x x y x yy y y y?? ， 令 0000(),f fyyyyy?，則 ( ) , ff x x y? . 而
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