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正文內(nèi)容

euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣(編輯修改稿)

2024-09-24 18:26 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 ???? ?? 11, ( )nni i j ji j rkf? ? ?? ? ?? ?? , fxy? 其中1 ()nf i iiry f V???????.再由引理 3 知唯一性成立,定理得證 . 通過定理 2,我們知道,對于有限維的 Euclid 空 間上的線性泛函都能用內(nèi)積來刻畫,而對于更一般的情形(對整個 Euclid 空間的維數(shù)不加限制),我們先從下面的引理開始探討 . 引理 4 設(shè) V 是 Euclid 空間, xV? ,則由 x 生成的子空間 ()Lx 是 V 的閉子空間 . 證明 當(dāng) ()Lx 的聚點集 39。()Lx?? 時,結(jié)論顯然成立,下面不妨設(shè) 39。()Lx?? ,這時 0x? ,否則 ( ) {0}Lx? 是孤立點集,從而 39。()Lx?? ,矛盾 . 現(xiàn)設(shè) 39。0 ()x Lx? ,則有 ()Lx 中的點列 {}nx ,有0lim nn xx??? ?,則 0???, N ?? ?? ,對 n? , mN? ,有 nmx x x ??? , ( 1) 由于 nx ()Lx? ,故 nkR??,使得 nnx kx? , 1n? , 2 , ,將此代入( 1)得到 nmkk???, ( 2) 7 所以根據(jù) Cauchy 收斂準(zhǔn)則知數(shù)列 {}nk 收斂,設(shè)0lim nn kk??? ?,則 0???, 39。N ?? ?? ,使得 39。nN?? ,有0 1nkk x ???,于是 39。nN?? ,有 0 0 0n n n nx k x k x k x k k x ?? ? ? ? ? ?, 即0lim nn x k x??? ?,故 00 ()x k x L x?? ,所以 ()Lx 是 V 的閉子空間 . 引理 5 W 是 Euclid 空間 V 的閉子空間,則 ()WW??? . 證明 xW?? , yW??? ,有 ( , ) 0xy? ,則 ()xW??? ,所以 ()WW??? ,下面只須證 ()WW??? 即可 . ()xW???? ,由于 W 是 Euclid 空間 V 的閉子空間,故根據(jù)引理 1 和引理 2知存在 ()y W W ???? 及 zW?? ,使得 x y z??,由于 ()W?? 是線性子空間,因此()z x y W ??? ? ? ,從而 ( ) { 0}z W W? ? ???,即 0z? ,所以 x y W?? .這就證明了 ()WW??? . 經(jīng)過前面的準(zhǔn)備下,我們就可以得到以下定理 . 定理 3 設(shè) f 是 Euclid 空間 V 上的線性泛函,則下列條件是等價的: 1)存在唯一的 fyV? ,使得 xV?? ,有 ( ) , ff x x y? ; 2) 0f? 或 dim ( ) 1Nf? ? ; 3) ( ) ( )V N f N f ???. 證明 1) ?2) 若 fyV??,使得 xV?? ,有 ( ) , ff x x y? ,則 當(dāng) 0fy ? 時, 0f? ,下設(shè) 0fy ? . ()x N f?? ,有 : , ( ) 0fx y f x??,從而 : ()fx L y? ,即 ()fx L y ?? ,所以 ( ) ( )fN f L y ?? ;反之 ()fx L y ??? ,有 : ( ) , 0ff x x y??,即 ()x N f? ,于是 ( ) ( )fL y N f? ? .因此 ( ) ( )fN f L y ?? . 再根據(jù)引理 3 和引理 4 知 ( ) ( ( ) ) ( )ffN f L y L y? ? ???,由于 0fy? ,所以dim ( ) 1Nf? ? . 2) ?3) 8 當(dāng) 0f? 時, ()N f V? ,此時 3)顯然成立; 當(dāng) dim ( ) 1Nf? ? 時,則 ()Nf? ??? , 0?? ,使 ( ) ( )N f L ?? ? .由于 0?? ,故 ()Nf?? ,所以 ( ) 0f ? ? ,于是 xV?? ,令 ()()fxy f ???,則有 ()x x y y???,其中 ()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0()fxf x y f x f y f x ff ??? ? ? ? ? ? ? 因此 ()x y N f?? ,而 () ()()fxy N ff ?? ???,所以 ( ) ( )V N f N f ???. 3) ?1) 若 0f? ,則令 0fy ? ,結(jié)論自然成立 . 若 ( ) ( )V N f N f ???,且 0f? ,則 ??( ) 0Nf? ? ,于是可設(shè) 0 0y? ,0 ()y N f ?? ,對任何 xV? ,令 00( ) ( )v f x y f y x??,則 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f v f x f y f y f x???, 即 ()v N f? . ? 0 0 0 0 0 0 0 00 , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,v y f x y f y x y f x y y f y x y? ? ? ? ?, 由于 00,0yy? ,所以 00000 0 0 0( ) ( )( ) , , ( , )f y f yf x x y x yy y y y?? , 令 0000(),f fyyyyy?,則 ( ) , ff x x y? . 而
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