應(yīng)用泛函分析教案2(編輯修改稿)
2025-05-13 22:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 11映照. 實(shí)因設(shè),，且，則因(,)0及(,)=(,)0，知. 在泛函分析中往往把兩個(gè)等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一個(gè)度量空間. Th 1 (度量空間完備化定理) 設(shè)=(,)是度量空間，那么一定存在一完備度量空間=(,)，使與的其個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若(,)也是一完備度量空間，且與的其個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，則(,)與(,)等距同構(gòu). 證明 分4步完成.(1)構(gòu)造=(,).令為中柯西點(diǎn)列=全體，對(duì)中任意兩個(gè)元素=和=，若 =0， (1)則稱與相等，記為=，或=. =，=，定義 (,)=. (2) 首先指出(2)式右端極限存在. 實(shí)因由三點(diǎn)不等式++，所以 +.同理 +.所以 ||+. (3)因?yàn)楹褪侵械目挛鼽c(diǎn)列，所以是中柯西數(shù)列,所以(2)式在端極限存在. 其次指出：若=，=，則=，即(,)與用來(lái)表示,具體柯西點(diǎn)列，無(wú)關(guān). 實(shí)因仿(3)式之證法，得 ||+.由 =0和=0， 可得 =. 最后證明 滿足關(guān)于距離條件及： 顯然 =0. 又=0 =0 =. =，=，=， 則 ，故，即 . 所以按成度量空間. (2)作的稠密子空間及到的等距映照 ，令=，其中=，顯然. 令=，=. 因?yàn)?==，所以是到上的等距映照. 在與等距同構(gòu)之下往證是中的稠密子集. =, 令=，其中=，則. 因=是中的柯西點(diǎn)列，故0，. 時(shí)，有 . 于是=. 即在 中必有中的點(diǎn)， 故在中稠密. (3)證明是完備的度量空間 設(shè)是中的柯西點(diǎn)列，因?yàn)樵谥谐砻?，所以?duì)每個(gè)，. . (4)所以 ，所以是中柯西點(diǎn)列. 因?yàn)槭堑缴系牡染嘤痴?，所以是中柯西點(diǎn)列. 令=，則. 由(4)式，有 =0 ().所以 =0，所以是完備度量空間. (4) 證明的唯一性 設(shè)是另一個(gè)完備度量空間，且與中稠密子集等距同構(gòu). 作到上映照如下： 對(duì)，由于在中稠密，中點(diǎn)列，..但由于與等距同構(gòu)，也與等距同構(gòu)，從而與也等距同構(gòu). 設(shè)為到上等距同構(gòu)映照，由知是中柯西點(diǎn)列，由完備性，.. 令=. 首先，這樣定義的與無(wú)關(guān)， 即若另有，，則 =. 實(shí)因 ====0. 所以=. 下證是到上的等距同構(gòu)映照, 對(duì)，由于是的稠密子集，所以存在中點(diǎn)列，.. 同前證明可知為中的柯西點(diǎn)對(duì)，有，.. 易知=，即映照到上. 又對(duì)，有中點(diǎn)列和， . ，. 所以 ===，所以是一個(gè)等距同構(gòu)映照. 所以與等距同構(gòu). 證畢. 若將彼此等距同構(gòu)的度量空間視為同一空間，則有 Th 設(shè)=是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間=使為的稠密子空間. 作業(yè)：. 作業(yè)提示： 作到內(nèi)的映照：，其中=。 取
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