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正文內(nèi)容

應(yīng)用泛函分析教案2(編輯修改稿)

2025-05-13 22:48 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 11映照. 實(shí)因設(shè),,且,則因(,)0及(,)=(,)0,知. 在泛函分析中往往把兩個(gè)等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一個(gè)度量空間. Th 1 (度量空間完備化定理) 設(shè)=(,)是度量空間,那么一定存在一完備度量空間=(,),使與的其個(gè)稠密子空間等距同構(gòu),并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的,即若(,)也是一完備度量空間,且與的其個(gè)稠密子空間等距同構(gòu),則(,)與(,)等距同構(gòu). 證明 分4步完成.(1)構(gòu)造=(,).令為中柯西點(diǎn)列=全體,對(duì)中任意兩個(gè)元素=和=,若 =0, (1)則稱(chēng)與相等,記為=,或=. =,=,定義 (,)=. (2) 首先指出(2)式右端極限存在. 實(shí)因由三點(diǎn)不等式++,所以 +.同理 +.所以 ||+. (3)因?yàn)楹褪侵械目挛鼽c(diǎn)列,所以是中柯西數(shù)列,所以(2)式在端極限存在. 其次指出:若=,=,則=,即(,)與用來(lái)表示,具體柯西點(diǎn)列,無(wú)關(guān). 實(shí)因仿(3)式之證法,得 ||+.由 =0和=0, 可得 =. 最后證明 滿(mǎn)足關(guān)于距離條件及: 顯然 =0. 又=0 =0 =. =,=,=, 則 ,故,即 . 所以按成度量空間. (2)作的稠密子空間及到的等距映照 ,令=,其中=,顯然. 令=,=. 因?yàn)?==,所以是到上的等距映照. 在與等距同構(gòu)之下往證是中的稠密子集. =, 令=,其中=,則. 因=是中的柯西點(diǎn)列,故0,. 時(shí),有 . 于是=. 即在 中必有中的點(diǎn), 故在中稠密. (3)證明是完備的度量空間 設(shè)是中的柯西點(diǎn)列,因?yàn)樵谥谐砻?,所以?duì)每個(gè),. . (4)所以 ,所以是中柯西點(diǎn)列. 因?yàn)槭堑缴系牡染嘤痴?,所以是中柯西點(diǎn)列. 令=,則. 由(4)式,有 =0 ().所以 =0,所以是完備度量空間. (4) 證明的唯一性 設(shè)是另一個(gè)完備度量空間,且與中稠密子集等距同構(gòu). 作到上映照如下: 對(duì),由于在中稠密,中點(diǎn)列,..但由于與等距同構(gòu),也與等距同構(gòu),從而與也等距同構(gòu). 設(shè)為到上等距同構(gòu)映照,由知是中柯西點(diǎn)列,由完備性,.. 令=. 首先,這樣定義的與無(wú)關(guān), 即若另有,,則 =. 實(shí)因 ====0. 所以=. 下證是到上的等距同構(gòu)映照, 對(duì),由于是的稠密子集,所以存在中點(diǎn)列,.. 同前證明可知為中的柯西點(diǎn)對(duì),有,.. 易知=,即映照到上. 又對(duì),有中點(diǎn)列和, . ,. 所以 ===,所以是一個(gè)等距同構(gòu)映照. 所以與等距同構(gòu). 證畢. 若將彼此等距同構(gòu)的度量空間視為同一空間,則有 Th 設(shè)=是度量空間,那么存在唯一的完備度量空間=使為的稠密子空間. 作業(yè):. 作業(yè)提示: 作到內(nèi)的映照:,其中=。 取
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