2-彈性力學(xué)、泛函、變分等基本知識(shí)(編輯修改稿)
2024-09-01 19:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 已知這三個(gè)垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變 ， 則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出 ， 當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變 。 ?因此 ， 這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)變分量 ， 它們就稱為該點(diǎn)的 應(yīng)變分量 。 ? 六個(gè)應(yīng)變分量的總體 ， 可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)表示 ： ε? ? ( 4) Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx????????????????????????????????????ε[ 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 17 剛體位移 ：由幾何方程可見(jiàn)，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。反過(guò)來(lái)，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，令： 0?????? zxyzxyzyx ??????000000 ??????????????????????????? yuxwxwzvzvyuzwyvxu ，，，( 5 ) 000??????????????xywwzxvvyzuuyxxzzy??????有 積分得 、、 zyxwvu ???000 為 積分常數(shù)，即 剛體位移 。 式中， [ 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 18 [ 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ] 當(dāng)沿 x軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分布的正應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何改變，而其在 x方向的單位伸長(zhǎng)則可表以方程 zyx0x?x?y?y?z?z?圖 1 7應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系 虎克定律 ( 6 ) E xx ?? ?( 7 ) EE xzxy ?????? ???? ，式中， E為彈性模量。 彈性體在 x方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)向收縮，即在 y和 z方向的單位縮短可表示為： 式中， μ 為泊松比。 上述兩個(gè)方程可用于簡(jiǎn)單和壓縮。 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 19 設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力 ， 則合成應(yīng)變的分量可用上兩式求得 。 實(shí)驗(yàn)證明 ， 只須將三個(gè)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加 ，就得到合成應(yīng)變的分量 。 單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù) E及 μ所確定 。 兩個(gè)常數(shù)也可用來(lái)確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系 。 zyx0x?x?y?y?z?z?圖 1 7? ?? ?? ?( 8 ) )(1)(1)(1??????????????????yxzzzxyyzyxxEEE???????????????[ 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 20 如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用 ， 如 圖 所示 ， 任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān) ， 即得到： 式中 G稱為剪切模量 ， 它與彈性模量 E，泊松比 μ存在如下的關(guān)系： 前面的正應(yīng)變與上式中的剪應(yīng)變是各自獨(dú)立的 。因此 ， 由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變 ， 可用疊加法求得；六個(gè)關(guān)系式寫在一起 ， 得左 式 ， 稱為 彈性方程或物理方程 ， 這種空間狀態(tài)的 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律 。 111 zxzxyzyzxyxy GGG ?????? ??? ， )1(2 ??? EG? ?? ?? ????????????????????????????zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE?????????????????????111)(1)(1)(1[ 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 21 將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù) ， 可稱為物理方程的第一種形式 。 若將上左 式 (改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式 ， 可得 物理方程的第二種形式 ： ( 1 )()( 1 ) ( 1 2 ) 1 1( 1 )()( 1 ) ( 1 2 ) 1 1( 1 )()( 1 ) ( 1 2 ) 1 1 2 ( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 )x x y zy x y zz x y zx y x yy z y zzx zxEEEEEE? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????? ?? ? ??? ? ? ??? ?? ? ??? ? ? ??? ?
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