【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 31 1 1 1( ) ( ) 0 .d d d d d dd r d r r d r r d r r d r r d r? ? ? ?? ? ? ?2 2 32 2 2 3 31 1 2 1 2( ) [ ( ) ] .d d d d d d d dd r r d r d r d r r d r r d r r d r r d r? ? ? ? ?? ? ? ? ?23 2 21 1 1 1( ) .d d d dr d r r d r r d r r d r? ? ?? ? ?彈性力學(xué) 第四章 35 2 4 3 222 4 3 2 2 31 2 1 1( ) 0 .d d d d d dd r r d r d r r d r r d r r d r? ? ? ??? ? ? ? ? ?This is an ordinary differential equation, which can be reduced to a linear differential equation with constant coefficients by introducing a new variable t such that .tre?td d d t ded r d t d r d t? ? ????222 ()td d ded r d t d t? ? ????3 3 233 3 2( 3 2 )td d d ded r d t d t d t? ? ? ??? ? ?4 4 3 244 4 3 2( 6 1 1 6 )td d d d ded r d t d t d t d t? ? ? ? ??? ? ? ?彈性力學(xué) 第四章 36 Substituting them into the patibility equations ,we can get 4 3 24 3 24 4 0 .d d dd t d t d t? ? ?? ? ?22122 ()td e c c tdt? ??solve Integration twice, we can get the general solution 22l n l nA r Br r C r D? ? ? ? ?彈性力學(xué) 第四章 37 21 ( 1 2 l n ) 2rdA B r Cr d r r?? ? ? ? ? ?1 0rddd r r d??????? ? ?????222 ( 3 2 l n ) 2dA B r Cd r r??? ? ? ? ? ? ?If there is no hole at the origin of coordinates, constants A and B vanish, since otherwise the stress ponents bee infinite when r=0. hence for a plate without a hole at the origin and with no body forces, only one case of stress distribution symmetrical with respect to the axis may exist, namely, that when ?r=??=constant and that the plate is in a condition of uniform tension or uniform pression in all directions in its plane. 彈性力學(xué) 第四章 38 將應(yīng)變代入幾何方程，對(duì)應(yīng)第一、二式分別積分， (3) 應(yīng)變通解： Substitution of Eqs. ()() into physical Equations yields the axisymmetrical strain ponents. (4)求對(duì)應(yīng)的位移： ,rr??? ? ?? ?1124 ..,ru rr ???ε()rru d r f?????彈性力學(xué) 第四章 39 分開(kāi)變量，兩邊均應(yīng)等于 同一常量 F, θ θ r ε θ u r 1 r u ? ? ? ? 1( ) ( )ru r u d f r?? ??? ? ??將 代入 第三式 ， ,ruu?? ? 1γ θθrr θ ??????11 () ()( ) ( )d f r dff r r f dd r d ? ???? ? ? ?彈性力學(xué) 第四章 40 由兩個(gè)常微分方程， 11 ()() d f rf r r Fdr??() ()df f d Fd? ??? ???22() ( ) 0df fd? ?? ??1 ()f r Hr F??( ) c os si nf I K? ? ???Which has a solution 彈性力學(xué) 第四章 41 其中 代入 ， 得 軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解， I， K— 為 x、 y向的剛體平移， H — 為繞 o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。 位移通解 ,ruu?1 [ ( 1 ) 2( 1 ) ( l n 1 )( 1 3 ) 2( 1 ) ] c os si nrAu Br rErBr C r I K??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 si n c o sBru H r I KE?? ??? ? ? ?彈性力學(xué) 第四章 42 說(shuō)明 （ 2）在軸對(duì)稱 應(yīng)力條件下，形變也是軸對(duì)稱 的 ,但位移不是軸對(duì)稱的。 （ 3）實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、 體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。 （ 1）在軸對(duì)稱 應(yīng)力條件下，式 (c),(d),(e) 為應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力和位移的通解， 適用 于任何軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。 說(shuō)明 彈性力學(xué) 第四章 43 (4) 軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解 (d) 、 (e) 已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界 條件及多連體中的位移單值條件，并由 此求出其系數(shù) A、 B及 C。 說(shuō)明 (5) 軸對(duì)稱應(yīng)力及位移的通解 (d) 、 (e) ， 可以用于求解應(yīng)力或位移邊界條件下的 任何軸對(duì)稱問(wèn)題。 (6) 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須將 換為 μE,。??? ?? 1,1 2E彈性力學(xué) 第四章 44 思考題 為什么在軸對(duì)稱應(yīng)力下，得出的位移是非軸對(duì)稱的？如何從數(shù)學(xué)推導(dǎo)和物理概念上解釋這種現(xiàn)象？ 彈性力學(xué) 第四章 45 Hollow cylinder subjected to uniform pressures均布?jí)毫ψ饔孟碌闹锌請(qǐng)A柱體 彈性力學(xué) 第四章 46 Stresses 應(yīng)力 the condition of singlevalued displacements leads to B=0 2 ( 1 2 l n ) 2rA B r Cr? ? ? ? ?0r?? ?2 ( 3 2 l n ) 2A B r Cr?? ? ? ? ? ?2 2rA Cr? ??0r?? ?2 2A Cr?? ? ? ?彈性力學(xué) 第四章 47 Boundary conditions 邊界條件 ( ) , ( )r r a a r r b bqq????? ? ? ?( ) 0 , ( ) 0r r a r r b????????2222abACqaACqb?? ? ? ????? ? ???2 2 2 22 2 2 2() ,2b a a ba b q q q a q bAcb a b a??????彈性力學(xué) 第四章 48 222222222222222211111111r a babbarrqqbaabbarrqqbaab???????? ? ? ?????????????????This is the wellknown Lame’s formulas for the stresses in a hollow circular cylinder subjected to uniform pressures. They are the principle stresses at the point. 彈性力學(xué) 第四章 49 Only internal pressure acts 只有內(nèi)壓 qa?0 qb=0 P66(E) Eqs. () . b?? saintvenant?s principle 222222222222222211111111r a babbarrqqbaabbarrqqbaab???????? ? ? ?????????????????彈性力學(xué) 第四章 50 222222222222222211111111r a babbarrqqbaabbarrqqbaab???????? ? ? ?????????????????If the outer radius b is much larger than the inner radius a, the cylinder bees a large body with a small circular hole of radius a. so the stresses above bee 2222raaaqraqr?????? ???????彈性力學(xué) 第四章 51 ? Only external pressure acts只有外壓 qa= 0 qb? 0 ? P66(E) Egs. () . 222222222222222211111111r a babbarrqqbaabbarrqqbaab???????? ? ? ?????????????????彈性力學(xué) 第四章 52 單值條件的說(shuō)明： （ 1）多連體中的位移單值條件， 實(shí)質(zhì)上就 是 物體的連續(xù)性條件 （即位移連續(xù)性 條件）。 （ 2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都 應(yīng)為單值。 單值條件 按位移求解時(shí)：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。 彈性力學(xué) 第四章 53 按應(yīng)力求解時(shí) ：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。 所以，按應(yīng)力求解時(shí)，對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。 單值條件 對(duì)于單連體，通過(guò)校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足； 對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足。 彈性力學(xué) 第四章 54 pure bending of curved beams 曲梁的