力學(xué)第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)(編輯修改稿)
2024-08-28 17:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。 RMo解： dmdmRJM20??分割質(zhì)量元 dm 圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等， dmR M?? 02 2MR?繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2MRJ ?R 例 4： 半徑為 R 質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂直于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。 r dr 解： 圓盤為面質(zhì)量分布，單位面積的質(zhì)量為： SM??分割質(zhì)量元為圓環(huán)，圓環(huán)的半徑為 r 寬度為 dr, r 2RM??M dSdm ???? dJJ2MRJ ?由圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式 )2(20 r drrR ????421 R???由 2RM ???則圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 221 MRJ ?則圓環(huán)質(zhì)量 R r dr r M rd r?? 2?dmr 2?? 薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直 221 mrJ ?r2 r1 圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸 )(21 2221 rrmJ ??典型剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： l r 圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸 221 mrJ ?l r 圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心與幾何軸垂直 12422 mlmrJ ??l 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直 122mlJ ?l 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直 32mlJ ?2r 球體轉(zhuǎn)軸沿直徑 52 2mrJ ?2r 球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑 32 2mrJ ?定理表述： 剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JC 加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。 2mdJJC ??JCJd mC 剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。 四、平行軸定理 五、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 第一類問題： 已知運(yùn)動(dòng)情況和 J ，確定運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的聯(lián)系 ?，從而求出 M或 F。 例 1： 長為 l、質(zhì)量為 m 的細(xì)桿，初始時(shí)的角速度為 ?0，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時(shí)間 t 后桿靜止，求摩擦力矩 M阻 。 lo解： 以細(xì)桿為研究對(duì)象， 只有摩擦阻力 產(chǎn)生力矩，由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式： t??? ?? 0 00 ?? t?? t 0?? ?細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 231 mlJ ?則摩擦阻力矩為： ?JM ?阻0231 ?mltM ?阻tml0231 ??第二類問題： 已知 J 和力矩 M ：求出運(yùn)動(dòng)情況 a 和 ? 及 F。 例 2： 質(zhì)量為 m1和 m2兩個(gè)物體，跨在定滑輪上 m2 放在光滑的桌面上，滑輪半徑為 R，質(zhì)量為 M，求： m1 下落的加速度，和繩子的張力 T T2。 1m2m RM ,T1 T2 解： 受力分析 1m以 為研究對(duì)象 amTgm111 ? （ 1） 2m以 為研究對(duì)象 amT 22 ? （ 2） M以 為研究對(duì)象 ?JRTT ? )( 21 （ 3） 1mgm11T2T2mRM,1T2T補(bǔ)充方程： ?Ra ? （ 4） 聯(lián)立方程（ 1） （ 4）求解得 2/211Mmmgma???2/)2/(21211 MmmgMmmT????2/21212 MmmgmmT???討論： 當(dāng) M=0時(shí) 212121 mmgmmTT???例 一根長為 l、 質(zhì)量為 m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 ?角時(shí)的角加速度和角速度。 解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對(duì) O的力矩。 棒上取質(zhì)元 dm,當(dāng)棒處在下擺 ?角時(shí) ， 重力矩為： ?? ? x dmgg x d mM ＝? X O dmg dm x 重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。 ?c o s21 lx c ? ?c o s21 m g lM ? ???????? dddtddddtd ??????? ddgl ?c o s23?? ? ?? ???? 00 c o s23 ddgl221s in23 ?? ?gllg ?? s in3?lgmlm g lJM2c o s331c o s212??? ???由轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 第三類問題： 已知運(yùn)動(dòng)情況 和力矩 M ，求 未知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。 例四：測輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 用一根輕繩纏繞在半徑為 R、質(zhì)量為 M 的輪子上若干圈后，一端掛一質(zhì)量為 m 的物體，從靜止下落 h 用了時(shí)間 t ,求輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。 h RM ,m以 m為研究對(duì)象 ( 1 ) maTmg ?以 M為研究對(duì)象 (
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