【文章內容簡介】 = q．因此，在L2[a, b]中就有u = q．故也有S ^ = {q}；(2) 分成兩個區(qū)間[a, b – 1)和[b – 1, b]來看．在[a, b – 1)上取定非零函數(shù)u(x) = 1 ( x206。[a, b – 1) )．記pn = 242。[a, b – 1) u(x)jn(x) dx．我們再把u看成是[b – 2, b – 1]上的函數(shù)(u在[b – 2, a)上去值為0)．那么pn就是u在L2[b – 2, b – 1]上關于正交集S1 = {jn(x) | n206。Z }的Fourier系數(shù)．由Bessel不等式，229。n206。Z | pn |2 +165。．再用RieszFischer定理，在L2[b – 1, b]中，229。n206。Z pn jn收斂．并且，若令v = 229。n206。Z pn jn，則(v, jn)= pn ( n206。Z)．設f : [a, b] 174。 C為：f(x) = u(x) (當x206。[a, b – 1))，f(x) = v(x) (當x206。[b – 1, b])．則f 206。L2[a, b]，f 185。 q，但( f, jn) = 242。[a, b – 1) f(x)jn(x) dx + 242。[b – 1, b] f(x)jn(x) dx= 242。[a, b – 1) u(x)jn(x) dx + 242。[b – 1, b] v(x)jn(x) dx= pn pn = 0，因此，f 206。S1^ = S ^，故S ^ 185。 {q}．：( zn/(2p)1/2, zn/(2p)1/2 ) = (1/i)242。| z | = 1 ( zn/(2p)1/2 (z*)n/(2p)1/2 )/z dz= (1/(2pi))242。| z | = 1 zn (z*)n/z dz = (1/(2pi))242。| z | = 1 1/z dz = 1．若n m，則n m 1 179。 0，從zn m 1而解析．( zn/(2p)1/2, zm/(2p)1/2 ) = (1/i)242。| z | = 1 ( zn/(2p)1/2 (z*)m/(2p)1/2 )/z dz= (1/(2pi))242。| z | = 1 zn (z*)m/z dz = (1/(2pi))242。| z | = 1 zn m 1 dz = 0．因此，{ zn/(2p)1/2 }n 179。 0是正交規(guī)范集．：容易驗證{en}199。{ fn}是正交規(guī)范集，下面只證明{en}199。{ fn}是X的基．x206。X，由正交分解定理，存在x關于X0的正交分解x = y + z，其中y206。 X0，z206。 X0^．因{en}, { fn}分別是X0和X0^的正交規(guī)范基，故y = 229。 n206。N ( y, en ) en，z = 229。 n206。N ( z, fn ) fn． 因z206。 X0^，故(x, en) = ( y + z, en) = ( y, en) + ( z, en) = ( y, en)．因y206。 X0，故(x, fn) = ( y + z, fn) = ( y, fn) + ( z, fn) = ( z, fn)．故x = y + z = 229。 n206。N ( y, en ) en + 229。 n206。N ( z, fn ) fn= 229。 n206。N ( x, en ) en + 229。 n206。N ( x, fn ) fn．因此{en}199。{ fn}是X的正交規(guī)范基．：首先，令j k (z) = (( k +1 )/p)1/2 z k ( k 179。 0 )，則{ j k }k 179。 0是H 2(D)中的正交規(guī)范基．那么，u(z)206。H 2(D)，設u(z) = 229。 k 179。 0 a k z k，則k206。N，有(u, j k) = 242。D u(z) j k(z)* dxdy = 242。D (229。 j 179。 0 a j z j) j k(z)* dxdy= 229。 j 179。 0 a j (p/( j +1 ))1/2242。D (( j +1 )/p)1/2 z j j k(z)* dxdy= 229。 j 179。 0 a j (p/( j +1 ))1/2242。D j j(z) j k(z)* dxdy= 229。 j 179。 0 a j (p/( j +1 ))1/2 (j j, j k)= a k (p/( k +1 ))1/2．即u(z)的關于正交規(guī)范基{ j k }k 179。 0的Fourier系數(shù)為a k (p/( k +1 ))1/2 ( k 179。 0 )．(1) 如果u(z)的Taylor展開式是u(z) = 229。 k 179。 0 b k z k，則u(z)的Fourier系數(shù)為b k (p/( k +1 ))1/2 ( k 179。 0 )．由Bessel不等式，229。 k 179。 0| b k (p/( k +1 ))1/2 |2 163。 || u || +165。，于是有 229。 k 179。 0| b k |2/( k +1 ) +165。．(2) 設u(z), v(z)206。H 2(D)，并且u(z) = 229。 k 179。 0 a k z k，v(z) = 229。 k 179。 0 b k z k．則u(z) = 229。 k 179。 0 a k (p/( k +1 ))1/2j k (z)，v(z) = 229。 j 179。 0 b j (p/( j +1 ))1/2j j (z)，(u, v) = ( 229。 k 179。 0 a k (p/( k +1 ))1/2j k (z), 229。 j 179。 0 b j (p/( j +1 ))1/2j j (z) )= 229。 k 179。 0229。 j 179。 0 (