5內積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁)(編輯修改稿)
2025-01-28 18:52 本頁面
【文章內容簡介】 2||ymx||2+2||xyn||24d 2?0 (m,n??) dxyyMyy nmnm ?????? 222) 證明 {xn}在 M中收斂 1) 證明 {yn}是基本列 M 是 Hilbert空間的閉線性子空間 ?M是完備的 ??x0?M, 使 yn?x0 ,||ynx||?||x0x|| (n??) ?{xn}是基本列 0||||in f|||| 0 ????? ? yxxxd My? 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第 16頁 3) 證明 x0 是 x在 M中的正交投影 記 x1=xx0, ?z?M, z??, ???C ?x0+?z?M 特取 2 020,zxxzzzxx ????????? ??2202302023 ||||||,||||||)(|||||| zzxxxxzxxzxxxx ???? ???????????0||||||, 2200 ?????? zzxxxxz ???4) 證明 x0 是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的 0|,|0|,| 020 ?????? zxxxxzzxxzxx ?????? 00 0,1001 xxxMxxx ??????? ?設 是 x在 M上的兩個正交投影，則 00,xx ? .,0|||| 00100 xxxxx ??????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第 17頁 注 ： 1)由定理的證明過程易知 ,只要 M是 H的完備子空間 ,而 H本身不完備 ,定理結論也成立 .從而上述正交分解式也唯一 . 2) 設 {en}是內積空間 H的標準正交系 , x?H, {ck}={x,ek}, 則 ??????? nkkknkkk execx11?即對任何數組 ?1, ?2,…, ?n,有 ???????? nkkknkkk eexecx110 ,是 x在內積空間 H上的正交投影 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第 18頁 2 正交投影的應用 —— 最佳逼近問題 (1)最佳逼近問題的一般提法 :設 H是 Hilbert空間 ,x, x1, x2, …, x n?H, 要求尋找出 n個數 ?1,?2,…, ?n, 使得 ??????? nkkknkkk xxxx n1), . .. ,(1 1m i n ?? ??即要求出 }, . . .,{ 2110 nnkkk xxxsp a nxx ????? 使得 ||xx0||最小。 (2)最佳逼近問題的幾何解釋： 記 M=span{x1, x2, …, xn}?H,則 ??? nk kk xx 1 ? 表示 x到 M上某點的距離 ??????? nk kknk kkxxxxn 1), . .. ,(1 1m i n ?? ?? 表示 x到 M的最短距離 ??? nk kkxx10? 表示 x在 M上的正交投影 最佳逼近問題實際上就是求正交投影的問題 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第 19頁 (2) 最佳逼近問題的求解步驟： 設 {xn}?M線性無關，記 M=span{x1, x2, …, xn}?H ??唯一的 x0: Mxx nkkk ????10 ?使得 ||xx0||=inf ||xy||, 且對 ?y?M, 有 xx0,y=0 ? xx0, xk =0 (xk?M, k =1,2,…,n ) ? x0, xk=x, xk (xk?M, k =1,2,…,n ) ? ),...2,1(,1 nkxxxx kknkkk ?????????? ),...2,1(,1nkxxxx kknkkk ??????????M是 H的閉線性子空間 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第 20頁 ? ), . . .2,1(, ,, ,1111111111nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnknnknnnnnk?????????????????????????????????????????????0110 , xxxxxnkkk ??????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第 21頁 三、內積空間中的正交系與傅立葉級數 1 正交系的概念 在解析幾何中，向量 i, j, k起著坐標架的作用 ,他們兩兩正交 ,R3中一切向量 x都能由他們線性表示： x=x1i+x2j+x3k。這是解析幾何的基礎。 R3中的向量正交概念 ? 一般內積空間中的向量正交概念 定義 7 (正交集與標準正交系 ) 設 H是內積空間 ,M?H,(1)如果對 ?x,y?M, x?y, 都有 x,y=0， 則稱 M是 H中的正交系。 ????????. ,1。 ,0,
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