【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 路原理得： 注：此題若分解，則更簡(jiǎn)單！10． 計(jì)算下列各積分解：（1），由柯西積分公式（2）， 在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個(gè)奇點(diǎn)，故此同上題一樣：‘。 （3） 在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個(gè)奇點(diǎn)1，故此 （5）， 在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：（6）為正整數(shù)，由高階導(dǎo)數(shù)公式 11． 計(jì)算積分，其中為（1） （2） （3）解：（1）由柯西積分公式（2）同理，由高階導(dǎo)數(shù)公式 （3）由復(fù)合閉路原理 ，其中，為內(nèi)分別圍繞0，1且相互外離的小閉合曲線。12． 積分的值是什么？并由此證明解：首先，由柯西基本定理，因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分曲線外。 其次，令，代入上述積分中，得 考察上述積分的被積函數(shù)的虛部，便得到 ，再由的周期性，得即，證畢。13． 設(shè)都在簡(jiǎn)單閉曲線上及內(nèi)解析，且在上 ，證明在內(nèi)也有。證明：由柯西積分公式，對(duì)于內(nèi)任意點(diǎn)， ， 由已知，在積分曲線上，故此有 再由的任意性知，在內(nèi)恒有，證畢。14． 設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，且，證明（1） 在內(nèi)；（2） 對(duì)于內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線，皆有證明：（1）顯然，因?yàn)槿粼谀滁c(diǎn)處則由已知 ，矛盾?。ㄒ部芍苯幼C明：，因此 ，即，說明）（3） 既然，再注意到解析，也解析，因此由函數(shù)的解析性法則知也在區(qū)域內(nèi)解析，這樣，根據(jù)柯西基本定理，對(duì)于內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線，皆有，證畢。15．求雙曲線 （為常數(shù)）的正交（即垂直）曲線族。解：為調(diào)和函數(shù)，因此只需求出其共軛調(diào)和函數(shù)，則便是所要求的曲線族。為此，由柯西—黎曼方程 ，因此，再由 知，即為常數(shù)，因此 ，從而所求的正交曲線族為（注：實(shí)際上，本題的答案也可觀察出，因極易想到 解析）16．設(shè)，求的值使得為調(diào)和函數(shù)。解：由調(diào)和函數(shù)的定義 ，因此要使為某個(gè)區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即在某區(qū)域內(nèi)上述等式成立，必須 ，即。17．已知，試確定解析函數(shù) 解：首先，等式兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得 （1） （2）再聯(lián)立上柯西—黎曼方程 （3） （4） 從上述方程組中解出，得 這樣，對(duì)積分，得再代入中，得 至此得到：由二者之和又可解出 ，因此，其中為任意實(shí)常數(shù)。 注：此題還有一種方法：由定理知由此也可很方便的求出。18．由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)解：（1），由柯西—黎曼方程， ，對(duì)積分，得 ，再由得，因此 ，所以 ，因，說明時(shí)，由此求出，至此得到：，整理后可得：（2）， 此類問題，除了上題采用的方法外，也可這樣： ，所以 ，其中為復(fù)常數(shù)。代入得，故此 （3）同上題一樣， ， 因此， 其中的為對(duì)數(shù)主值，為任意實(shí)常數(shù)。（4）， ，對(duì)積分，得 再由得，所以為常數(shù)，由知，時(shí)，由此確定出，至此得到： ，整理后可得 19．設(shè)在上解析，且，證明 證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計(jì)式，得 ，證畢。20．若在閉圓盤上解析，且，試證明柯西不等式 ，并由此證明劉維爾定理：在整個(gè)復(fù)平面上有界且處處解析的函數(shù)一定為常數(shù)。證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計(jì)式，得，柯西不等式證畢；下證劉維爾定理： 因?yàn)楹瘮?shù)有界，不妨設(shè)，那么由柯西不等式，對(duì)任意都有，又因處處解析，因此可任意大，這樣，令，得，從而，即 ，再由的任意性知，因而為常數(shù)，證畢。習(xí)題四答案1． 考察下列數(shù)列是否收斂，如果收斂，求出其極限．（1）解：因?yàn)椴淮嬖?，所以不存在，?shù)列不收斂．（2）解：，其中，則．因?yàn)?，所以，?shù)列收斂，極限為0．（3）解：因?yàn)?，所以，?shù)列收斂，極限為0．（4）解：設(shè)，則，因?yàn)?，都不存在，所以不存在，?shù)列不收斂．2． 下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂?(1)解：，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知該級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．(2) 解：，因?yàn)槭墙诲e(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲審斂法知該級(jí)數(shù)收斂，同樣可知， 也收斂，故級(jí)數(shù)是收斂的．又，因?yàn)榘l(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，從而級(jí)數(shù)條件收斂．(3) 解：，因級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散．(4) 解：，由正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法知該級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．3． 試確定下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(1) 解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(2) 解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(3) 解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(4) 解：令，則，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?，從而冪?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，收斂半徑為?． 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為．證明：在點(diǎn)處，因?yàn)槭諗?，所以收斂，故由阿貝爾定理知，時(shí)，收斂，且為絕對(duì)收斂，即收斂．時(shí)，因?yàn)榘l(fā)散，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較準(zhǔn)則可知，發(fā)散，從而的收斂半徑為1，的收斂半徑也為1．5． 如果級(jí)數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn)處絕對(duì)收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對(duì)收斂．證明：時(shí)，由阿貝爾定理，絕對(duì)收斂． 時(shí)，由已知條件知，收斂，即收斂，亦即絕對(duì)收斂．6． 將下列函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)域．（1）解：由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級(jí)數(shù)．，可以得到．將上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得所要求的展開式=．（2）解：①時(shí)，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級(jí)數(shù)．===．②時(shí)，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級(jí)數(shù)．==．（3）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪