復(fù)變函數(shù)習(xí)題解答[第3章](編輯修改稿)
2025-04-21 00:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 242。C e sz dz | = | e sz/s |[a, b] | = | e bs – e as |/| s |．而| 242。C e sz dz | 163。 242。C | e sz | ds = 242。C | e (s + i t)z | ds = 242。C | e s z + i tz | ds = 242。C | e s z | ds 163。 242。C e max{a, b} s ds = | b – a | e max{a, b} s． 所以| e bs – e as | 163。 | s | | b – a | e max{a, b} s．5. 設(shè)在區(qū)域D = { z206。C : | arg z | p/2 }內(nèi)的單位圓周上任取一點z，用D內(nèi)曲線C連接0與z，試證：Re(242。C 1/(1 + z 2) dz ) = p/4．【解】1/(1 + z 2)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，故積分與路徑無關(guān)．設(shè)z = x + i y，z206。D，i z206。{ z206。C : 0 arg z p } = { z206。C : Im z 0 }， i z206。{ z206。C : p arg z 0 } = { z206。C : Im z 0 }，故1 + i z 206。{ z206。C : Im z 0 }， 1 i z206。{ z206。C : Im z 0 }．設(shè)ln(z)是Ln(z)的主值分支，則在區(qū)域D內(nèi)( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/(2i)是解析的，且(( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/(2i))’ = (i/(1 + i z) + i/(1 i z))(2i) = 1/(1 + z 2)；即( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/(2i)是1/(1 + z 2)的一個原函數(shù)．242。C 1/(1 + z 2) dz = ( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/2 |[0, z] = (ln(1 + i z) ln(1 i z))/(2i) = ln((1 + i z)/(1 i z))/(2i) = (ln |(1 + i z)/(1 i z)| + i arg ((1 + i z)/(1 i z)))/(2i)= i (1/2) ln |(1 + i z)/(1 i z)| + arg ((1 + i z)/(1 i z))/2，故Re(242。C 1/(1 + z 2) dz ) = arg ((1 + i z)/(1 i z))/2．設(shè)z = cosq + i sinq，則cosq 0，故(1 + i z)/(1 i z) = (1 + i (cosq + i sinq))/(1 i (cosq + i sinq)) = i cosq/(1 + sinq)，因此Re(242。C 1/(1 + z 2) dz ) = arg ((1 + i z)/(1 i z))/2= arg (i cosq/(1 + sinq))/2 = (p/2)/2 = p/4．[求1/(1 + z 2) = 1/(1 + i z) + 1/(1 i z) )/2的在區(qū)域D上的原函數(shù)，容易得到函數(shù)( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/(2i)，實際它上就是arctan z．但目前我們對arctan z的性質(zhì)尚未學(xué)到，所以才采用這種間接的做法．另外，注意到點z在單位圓周上，從幾何意義上更容易直接地看出等式arg ((1 + i z)/(1 i z))/2 = p/4成立．最后，還要指出，因曲線C的端點0不在區(qū)域D中，因此C不是區(qū)域D中的曲線．參考我們在第2題后面的注釋．]6. 試計算積分242。C ( | z | e z sin z ) dz之值，其中C為圓周| z | = a 0．【解】在C上，函數(shù)| z | e z sin z與函數(shù)a e z sin z的相同，故其積分值相同，即242。C ( | z | e z sin z ) dz = 242。C ( a e z sin z ) dz．而函數(shù)a e z sin z在C上解析，由CauchyGoursat定理，242。C ( a e z sin z ) dz = 0．因此242。C ( | z | e z sin z ) dz = 0．7. 設(shè)(1) f(z)在| z | 163。 1上連續(xù)；(2) 對任意的r (0 r 1)，242。| z | = r f(z) dz = 0．試證242。| z | = 1 f(z) dz = 0．【解】設(shè)D(r) = { z206。 C | | z | 163。 r }，K(r) = { z206。 C | | z | = r }，0 r 163。 1．因f在D(1)上連續(xù)，故在D(1)上是一致連續(xù)的．再設(shè)M = max z206。D(1) { | f(z) | }．e 0，$d1 0，使得z, w206。D(1), 當(dāng)| z w | d1時，| f(z) f(w) | e/(12p)．設(shè)正整數(shù)n 179。 3，zk = e 2kpi/n ( k = 0, 1, ..., n 1)是所有的n次單位根．這些點z0, z1, ..., zn – 1將K(1)分成n個弧段s(1), s(2), ..., s(n)．其中s(k) (k = 1, ..., n 1)是點zk – 1到zk的弧段，s(n)是zn – 1到z0的弧段．記p(k) (k = 1, ..., n 1)是點zk – 1到zk的直線段，p(n)是zn – 1到z0的直線段．當(dāng)n充分大時，max j {Length(s( j))} = 2p/n d1．設(shè)P是順次連接z0, z1, ..., zn – 1所得到的簡單閉折線．記r = r(P, 0)．注意到常數(shù)f(zj)的積分與路徑無關(guān)，242。s( j) f(zj) dz =242。p( j) f(zj) dz；那么，| 242。K(1) f(z) dz 242。P f(z) dz | = | 229。j242。s( j) f(z) dz 229。j242。p( j) f(z) dz | = | 229。j (242。s( j) f(z) dz 242。p( j) f(z) dz ) | 163。 229。j | 242。s( j) f(z) dz 242。p( j) f(z) dz |163。 229。j ( | 242。s( j) f(z) dz 242。s( j) f(zj) dz | + | 242。p( j) f(zj) dz 242。p( j) f(z) dz | )= 229。j ( | 242。s( j) ( f(z) f(zj)) dz | + | 242。p( j) ( f(z) f(zj)) dz | ) = 229。j ( 242。s( j) e/(12p) ds + 242。p( j) e/(12p) ds ) = (e/(12p)) 229。j ( Length(s( j)) + Length(p( j)) ) 163。 (e/(12p)) 229。j ( Length(s( j)) + Length(s( j)) ) = (e/(12p)) (2 Length(K(1)))= (e/(12p)) 4p = e/3．當(dāng)r r 1時，P中每條線段p(k)都與K(r)交于兩點，設(shè)交點順次為wk, 1, wk, 2．設(shè)Q是順次連接w1, 1, w1, 2, w2, 1, w2, 2, ..., wn, 1, wn, 2所得到的簡單閉折線．與前面同樣的論證，可知| 242。K(r) f(z)
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