[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)(3)(編輯修改稿)
2025-02-15 08:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 果函數(shù) w = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點 ( x , y ) 可表示成 ,)( ?oyBxAw ??????其中 A , B 不依賴于 ? x , ? y , 與 x , y 有 關(guān)， 稱為函數(shù) ),( yxf在點 (x, y) 的 全微分 , 記作 yBxAfw ????? dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微 , 則稱函數(shù) f ( x, y ) 在 ( x, y) 可微 ， 處全增量 則稱此函數(shù) 在 D 內(nèi)可微 . yBxA ???),(),( yxfyyxxfz ???????函數(shù) f (x, y) 在點 (x, y) 可微 函數(shù)在該點連續(xù) 定理 1(必要條件 ) 若函數(shù) w = f (x, y) 在點 (x, y) 可微 , 則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù) yyfxxff ????????d必存在 ,且有 定理 2 (充分條件 ) yzxz???? ,若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) ,),( 連續(xù)在點 yx 則函數(shù)在該點 可微分 . 解析函數(shù)的充要條件 yixyxivyxuyyxxivyyxxu??????????????? )],(),([)],(),([則可導(dǎo)在點設(shè)函數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw??????? ??? z zfzzf )()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz?????????????????????????????????),(),(lim),(),(lim )],(),([)],(),([lim )()(lim)(0000)0( ????? yzzz若沿平行于實軸的方式xvixu??????偏導(dǎo)數(shù)的定義 yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz?????????????????????????????????),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000 )0( ????? xzzz若沿平行于虛軸的方式y(tǒng)uiyvyvyui ???????????? 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf???????????????????????? )(39。 存在?定義 方程 稱為 CauchyRiemann方程 (簡稱 CR方程 ). yuxvyvxu???????????定理 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內(nèi)有定義， 則 f (z)在點 z=x+iy ∈ D處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在點 (x, y ) 可微，且滿足 CauchyRiemann方程 yuxvyvxu???????????上述條件滿足時 ,有 xyyyyxxx ivviuviuuivuzf ????????)(39。 內(nèi)解析的充要條件函數(shù)在區(qū)域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程并且滿足柯西－黎曼方內(nèi)可微在與內(nèi)解析的充要條件是域在其定義函數(shù)定理二DyxvyxuDyxivyxuzf ??推論 ： , ( , )u v x y C R?若 在 處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿足 方程,()f z u iv z x iy? ? ? ?則 在 處可導(dǎo).例題 1 ? ? ,uv?解析 可導(dǎo) 可微且滿足C R方 程? ? ? ?22 2f z x y i x y u iv f z?? ? ? ? ?已知 ，求解： ? ? ? ?2 2 2 2xxf z u iv x i y x iy z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 2 2 2yyv iu x i y x iy z? ? ? ? ? ? ? ?例： u(x,y)、 v(x,y)如下： ????????? ?000),(),(222222yxyxyxvyxu yx xy方程：滿足，則在點令RCzyxivyxuzf???? 0),(),()(
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