[工學(xué)]第3章復(fù)變函數(shù)的積分(編輯修改稿)
2024-11-12 18:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zz zzf z g z d z f z g z g z f z d z????()fz ()gz D D0z 1z例 5 計(jì)算 ? 解： zd zii???? 2s inzdzii???? 2siniiiizzdzzii ?????? 2s i n212s i n21212 2c os1 ????????? ???? ??例 6 計(jì)算 ? 解： ?????? ????? ?? 1010c o s01c o sc o s z d zzzzdzzdzz? 10 s inzdzz? 10 s in? ? 1c os1s i n01s i nc os ????? zzz例 7 計(jì)算 ? 解： dzedze ii zii z ?? ?? ? ???? 3 23 2 21dzeii z?? ??3 2? ? .021321 262 ????? ? iiz eeiie ????例 8 計(jì)算 ? 解： ? ? ?????? ???? ? ?? i zz dzeiez001? ? dzez zi ?? ?0 1? ? ? ?0011zii zz e d z z d e? ?? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ?? ?1c o s1s i n1s i n1c o s011iiiieeez izz?????????????? ??? 柯西積分公式 ? 定理： 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)處處解析， 為內(nèi) 的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線 ,它的內(nèi)部完全含于 , 為 內(nèi)的任一點(diǎn) ,那么 ? () ? 公式 ()稱為柯西積分公式 .通過這個(gè)公式就可以把一個(gè)函數(shù)在 內(nèi)部任何一點(diǎn)的值 ,用它在邊界上的值來表示 . ??zfDDDCCC0z? ? ? ? dzzz zfizf c00 21?? ?? 柯西積分公式 ? 推論 (平均值定理 ): 如果 是圓周 ，則柯西積分公式成為 ? 即 在圓心 的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均值。 C i0 ez z R ???i2 π i00i0( e )1( ) i e d2 π ief z Rf z RR? ?? ??? ? 2 π i001 ( e ) d2 π f z R ? ????)(zf 0z例 10計(jì)算 (沿圓周正向 ) ? 解 由公式 ()得 dzz zi z? ? 4 s in2 1?00s in ??? zzdzz zi z? ? 4 s in2 1?例 11計(jì)算 (沿圓周正向 ) ? 解 由公式 ()得 dzzzz? ? ?????? ???4 3211dzzzz? ? ?????? ???4 3211dzzdzz zz ?? ?? ???? 44 31211. iii ??? ???? 柯西積分公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法 ,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式 ,是研究解析函數(shù)的有力工具 . 柯西積分公式 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) ? 一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù) ,而且有各高階導(dǎo)數(shù) .這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同 ,因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)性不保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性 ,因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在 ,關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有下面的定理 . ? 定理 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù) ,它的 階導(dǎo)數(shù)為 : 其中 為 在函數(shù)的解析區(qū)域 內(nèi)圍繞 的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線 ,而且它的內(nèi)部完全含于 . 高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)數(shù)來求積分． ? ?zf? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 10! 1 , 2 ,2nncfznf z d z ni zz? ??? ??nCD0zD()010( ) 2 i ()( ) !nnCfz d z f zz z n?? ???例 12 計(jì)算 其中 為正向圓周 : ?
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